《图形与几何思维导图,五年级上册》

一、 平行四边形

1. 定义：

• 两组对边分别平行的四边形。

2. 特性：

• 对边平行且相等。
  • 对角相等。
  • 邻角互补。
  • 两条对角线互相平分。

3. 面积计算：

• 公式：S = 底 × 高 (S = ah)
  • 底：平行四边形任意一边。
  • 高：从平行四边形一条边到对边的垂直距离。
  • 注意：底和高必须对应。

4. 变形：

• 面积相等：等底等高的平行四边形面积相等。
  • 与长方形关系：平行四边形可以剪拼成长方形，面积不变，周长改变。

5. 重要定理：

• 同底等高的平行四边形面积相等。

二、 三角形

1. 定义：

• 由三条线段围成的封闭图形。

2. 分类：

• 按角分：
  • 锐角三角形：三个角都是锐角。
  • 直角三角形：有一个角是直角。
    • 特性：两个锐角互余。
    • 勾股定理（六年级学习）：a² + b² = c² (a, b 为直角边，c 为斜边)。
  • 钝角三角形：有一个角是钝角。
    • 按边分：
  • 不等边三角形：三条边都不相等。
  • 等腰三角形：有两条边相等。
    • 特性：两底角相等。
  • 等边三角形：三条边都相等。
    • 特性：三个角都相等，均为 60 度。

3. 特性：

• 内角和：三角形内角和等于 180 度。
  • 稳定性：三角形具有稳定性。

4. 面积计算：

• 公式：S = 底 × 高 ÷ 2 (S = ah/2)
  • 底：三角形任意一边。
  • 高：从三角形顶点到对边的垂直距离。
  • 注意：底和高必须对应。

5. 与平行四边形的关系：

• 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
  • 等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。

6. 重要线段：

• 高：顶点到对边的垂直线段。
  • 中线：连接顶点和对边中点的线段。
  • 角平分线：平分三角形一个角的线段。

三、 梯形

1. 定义：

• 只有一组对边平行的四边形。

2. 组成：

• 上底：较短的平行边。
  • 下底：较长的平行边。
  • 高：上下底之间的垂直距离。
  • 腰：不平行的两边。

3. 分类：

• 普通梯形：两腰不相等。
  • 等腰梯形：两腰相等。
    • 特性：同一底上的两个角相等。
  • 直角梯形：有一个角是直角。

4. 面积计算：

• 公式：S = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h/2)
  • 上底：梯形较短的平行边。
  • 下底：梯形较长的平行边。
  • 高：上下底之间的垂直距离。

5. 与平行四边形的关系：

• 两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。

6. 特殊梯形：

• 如果梯形的上底缩短为一点，梯形就变成了三角形。

四、 组合图形

1. 定义：

• 由几个基本图形组合而成的图形。

2. 面积计算：

• 分割法：将组合图形分割成几个基本图形，分别计算面积，再相加。
  • 添补法：将组合图形添补成一个基本图形，计算整体面积，再减去添补部分的面积。
  • 注意：灵活选择分割或添补的方法，选择最简便的方法。

3. 周长计算：

• 组合图形的周长是所有外围边长的总和。

4. 技巧：

• 观察图形的组成，选择合适的分割或添补方法。
  • 灵活运用已学过的面积公式。
  • 注意单位的统一。

五、 不规则图形

1. 定义：

• 没有明确计算公式的图形。

2. 面积估算：

• 数方格法：将不规则图形放在方格纸上，数出完整方格的个数和不完整方格的个数，估算总面积。
  • 近似图形法：将不规则图形近似看作规则图形，例如圆形、三角形、梯形等，利用规则图形的面积公式进行估算。

3. 注意：

• 数方格时，尽量精确，将不完整方格进行合理估算。
  • 选择合适的近似图形，使误差尽量减小。

六、 旋转

1. 定义：

• 一个图形绕着一个定点转动一定的角度。

2. 要素：

• 旋转中心：固定的点。
  • 旋转方向：顺时针或逆时针。
  • 旋转角度：旋转的度数。

3. 特性：

• 旋转不改变图形的大小和形状。
  • 对应点到旋转中心的距离相等。
  • 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。

4. 应用：

• 图案设计。
  • 生活中的现象，如风扇的转动。

七、 轴对称图形

1. 定义：

• 如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。

2. 对称轴：

• 这条直线叫做对称轴。

3. 特性：

• 对称轴两侧的图形完全相同。
  • 对应点到对称轴的距离相等。
  • 对称轴是对应点连线的垂直平分线。

4. 常见的轴对称图形：

• 线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、圆。

5. 注意：

• 有些图形可能有多条对称轴。

八、 图形的运动

1. 平移：

• 图形沿着直线方向移动，大小和形状不变。

2. 旋转：

• 图形绕着一个点转动一定的角度，大小和形状不变。

3. 轴对称（也称为翻折、镜像）：

• 图形沿着一条直线翻折，得到对称的图形，大小和形状不变。

4. 综合运用：

• 灵活运用平移、旋转和轴对称，可以解决一些复杂的图形问题，例如图案设计、图形变换等。

九、 绘制简单的平面图

1. 比例尺：

• 图上距离与实际距离的比。
  • 公式：比例尺 = 图上距离 / 实际距离
  • 种类：数值比例尺、线段比例尺。

2. 方向：

• 上北下南，左西右东。
  • 也可以用角度表示方向，如北偏东 30 度。

3. 步骤：

• 确定比例尺。
  • 确定方向。
  • 根据实际距离和比例尺，计算出图上距离。
  • 在图纸上绘制图形。

4. 注意：

• 单位要统一。
  • 标注比例尺和方向。
  • 尽量精确。

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