三角函数总结思维导图
《三角函数总结思维导图》
一、角的概念与弧度制
1. 角的概念
- 定义：由一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
- 分类：
- 正角：逆时针旋转。
- 负角：顺时针旋转。
- 零角：射线没有旋转。
- 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同α在内，构成一个集合{β|β = α + k·360°, k∈Z}。
2. 弧度制
- 定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。
- 角度与弧度的换算：
- 180° = π rad
- 1° = π/180 rad
- 1 rad = (180/π)°
- 弧长公式：l = |α|·r，其中l为弧长，α为弧度角的绝对值，r为半径。
- 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
二、三角函数的定义
1. 任意角的三角函数定义
- 设α是一个任意角，它的终边上一点P(x,y)，r = √(x²+y²)。
- 正弦函数：sin α = y/r
- 余弦函数：cos α = x/r
- 正切函数：tan α = y/x (x ≠ 0)
- 余切函数：cot α = x/y (y ≠ 0)
- 正割函数：sec α = r/x (x ≠ 0)
- 余割函数：csc α = r/y (y ≠ 0)
2. 单位圆与三角函数线
- 单位圆：以原点为圆心，半径为1的圆。
- 正弦线：MP，表示sin α。
- 余弦线：OM，表示cos α。
- 正切线：AT，表示tan α。
3. 各象限三角函数值的符号
- 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
- 第一象限：所有三角函数均为正值。
- 第二象限：正弦函数为正值，其余为负值。
- 第三象限：正切函数为正值，其余为负值。
- 第四象限：余弦函数为正值，其余为负值。
三、三角函数公式
1. 同角三角函数的基本关系
- 平方关系：sin²α + cos²α = 1
- 商数关系：tan α = sin α / cos α， cot α = cos α / sin α
- 倒数关系：sin α · csc α = 1， cos α · sec α = 1， tan α · cot α = 1
2. 诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限）
- 公式一：sin(α + 2kπ) = sin α， cos(α + 2kπ) = cos α， tan(α + 2kπ) = tan α (k∈Z)
- 公式二：sin(π + α) = -sin α， cos(π + α) = -cos α， tan(π + α) = tan α
- 公式三：sin(-α) = -sin α， cos(-α) = cos α， tan(-α) = -tan α
- 公式四：sin(π - α) = sin α， cos(π - α) = -cos α， tan(π - α) = -tan α
- 公式五：sin(π/2 - α) = cos α， cos(π/2 - α) = sin α， tan(π/2 - α) = cot α
- 公式六：sin(π/2 + α) = cos α， cos(π/2 + α) = -sin α， tan(π/2 + α) = -cot α
3. 和角与差角公式
- sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
- sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
- cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
- cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
- tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)
- tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β)
4. 倍角公式
- sin 2α = 2 sin α cos α
- cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- tan 2α = (2 tan α) / (1 - tan²α)
5. 半角公式
- sin (α/2) = ±√[(1 - cos α) / 2]
- cos (α/2) = ±√[(1 + cos α) / 2]
- tan (α/2) = ±√[(1 - cos α) / (1 + cos α)] = sin α / (1 + cos α) = (1 - cos α) / sin α
6. 万能公式
- sin α = (2tan(α/2)) / (1 + tan²(α/2))
- cos α = (1 - tan²(α/2)) / (1 + tan²(α/2))
- tan α = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
7. 积化和差与和差化积 (不常用，了解即可)
四、三角函数的图像与性质
1. 正弦函数 y = sin x
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期性：T = 2π
- 奇偶性：奇函数
- 单调性：
- 增区间：[−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] (k∈Z)
- 减区间：[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] (k∈Z)
- 最值：
- 当x = π/2 + 2kπ (k∈Z)时，ymax = 1
- 当x = −π/2 + 2kπ (k∈Z)时，ymin = -1
2. 余弦函数 y = cos x
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期性：T = 2π
- 奇偶性：偶函数
- 单调性：
- 增区间：[−π + 2kπ, 2kπ] (k∈Z)
- 减区间：[2kπ, π + 2kπ] (k∈Z)
- 最值：
- 当x = 2kπ (k∈Z)时，ymax = 1
- 当x = π + 2kπ (k∈Z)时，ymin = -1
3. 正切函数 y = tan x
- 定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ, k∈Z}
- 值域：R
- 周期性：T = π
- 奇偶性：奇函数
- 单调性：增区间：(−π/2 + kπ, π/2 + kπ) (k∈Z)
- 渐近线：x = π/2 + kπ (k∈Z)
4. 函数 y = Asin(ωx + φ) (A > 0, ω > 0)
- 振幅：A
- 周期：T = 2π/ω
- 频率：f = ω/(2π)
- 相位：ωx + φ
- 初相：φ
- 图像变换：
- 平移变换：左加右减
- 伸缩变换：注意是对x还是y的伸缩
五、解三角形
1. 正弦定理
- a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中R为外接圆半径)
2. 余弦定理
- a² = b² + c² - 2bc cos A
- b² = a² + c² - 2ac cos B
- c² = a² + b² - 2ab cos C
- 推论：
- cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)
- cos B = (a² + c² - b²) / (2ac)
- cos C = (a² + b² - c²) / (2ab)
3. 面积公式
- S = (1/2)ab sin C = (1/2)bc sin A = (1/2)ac sin B
- S = pr (p为半周长，r为内切圆半径)
- S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] (海伦公式)
4. 解三角形的类型
- 已知两角和一边
- 已知两边和其中一边的对角
- 已知两边和夹角
- 已知三边
六、三角恒等变换的应用
- 化简三角函数式
- 证明三角恒等式
- 求解三角方程
- 求解三角不等式
- 解决实际问题（例如：测量、物理等）
