三角函数思维导图高一
《三角函数思维导图高一》
一、角的概念与弧度制
1.1 角的概念
- 定义： 由一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
- 分类：
- 正角： 逆时针旋转形成的角。
- 负角： 顺时针旋转形成的角。
- 零角： 射线没有旋转。
- 终边相同的角： 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可以表示为 {β | β = α + k·360°，k∈Z}。
1.2 弧度制
- 定义： 长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作 1 rad。
- 关系：
- 360° = 2π rad
- 180° = π rad
- 1° = π/180 rad
- 1 rad = (180/π)°
- 弧长公式： l = |α|r，其中 l 是弧长，r 是半径，α 是弧所对的圆心角的弧度数。
- 扇形面积公式： S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
二、三角函数的定义
2.1 单位圆定义
- 定义： 在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆。
- 设P(x, y)为单位圆上的任意一点，角 α 的终边与单位圆交于点P，则：
- 正弦：sin α = y
- 余弦：cos α = x
- 正切：tan α = y/x (x ≠ 0)
2.2 任意角的三角函数
- 定义： 设P(x, y)为角 α 终边上任意一点（非原点），r = √(x² + y²)，则：
- 正弦：sin α = y/r
- 余弦：cos α = x/r
- 正切：tan α = y/x (x ≠ 0)
- 三角函数值的符号：
- 第一象限：sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0
- 第二象限：sin α > 0, cos α < 0, tan α < 0
- 第三象限：sin α < 0, cos α < 0, tan α > 0
- 第四象限：sin α < 0, cos α > 0, tan α < 0
- 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”
三、三角函数的图像与性质
3.1 正弦函数 y = sin x
- 图像： 正弦曲线
- 定义域： R
- 值域： [-1, 1]
- 周期性： 周期 T = 2π
- 奇偶性： 奇函数，即 sin(-x) = -sin x
- 单调性：
- 在 [-(π/2) + 2kπ, (π/2) + 2kπ] (k∈Z) 上单调递增
- 在 [(π/2) + 2kπ, (3π/2) + 2kπ] (k∈Z) 上单调递减
- 最值：
- 当 x = (π/2) + 2kπ (k∈Z) 时，ymax = 1
- 当 x = -(π/2) + 2kπ (k∈Z) 时，ymin = -1
3.2 余弦函数 y = cos x
- 图像： 余弦曲线
- 定义域： R
- 值域： [-1, 1]
- 周期性： 周期 T = 2π
- 奇偶性： 偶函数，即 cos(-x) = cos x
- 单调性：
- 在 [2kπ, π + 2kπ] (k∈Z) 上单调递减
- 在 [π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k∈Z) 上单调递增
- 最值：
- 当 x = 2kπ (k∈Z) 时，ymax = 1
- 当 x = π + 2kπ (k∈Z) 时，ymin = -1
3.3 正切函数 y = tan x
- 图像： 正切曲线
- 定义域： {x | x ≠ (π/2) + kπ, k∈Z}
- 值域： R
- 周期性： 周期 T = π
- 奇偶性： 奇函数，即 tan(-x) = -tan x
- 单调性： 在 (-(π/2) + kπ, (π/2) + kπ) (k∈Z) 上单调递增
- 无最值
- 渐近线： x = (π/2) + kπ (k∈Z)
3.4 函数 y = Asin(ωx + φ)
- A： 振幅
- ω： 决定周期 T = 2π/|ω|， 频率 f = |ω|/2π
- φ： 初相，影响图像左右平移，左加右减
四、三角恒等变换
4.1 同角三角函数的基本关系
- sin²α + cos²α = 1
- tan α = sin α / cos α
- tan α · cot α = 1
- sec α = 1/cos α
- csc α = 1/sin α
4.2 诱导公式
- 公式一： sin(α + 2kπ) = sin α, cos(α + 2kπ) = cos α, tan(α + 2kπ) = tan α (k∈Z)
- 公式二： sin(π + α) = -sin α, cos(π + α) = -cos α, tan(π + α) = tan α
- 公式三： sin(-α) = -sin α, cos(-α) = cos α, tan(-α) = -tan α
- 公式四： sin(π - α) = sin α, cos(π - α) = -cos α, tan(π - α) = -tan α
- 公式五： sin((π/2) - α) = cos α, cos((π/2) - α) = sin α
- 公式六： sin((π/2) + α) = cos α, cos((π/2) + α) = -sin α
- 记忆口诀： 奇变偶不变，符号看象限 (奇偶指的是π/2的倍数)
4.3 两角和与差的三角函数公式
- sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
- cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)
4.4 二倍角公式
- sin 2α = 2 sin α cos α
- cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- tan 2α = (2 tan α) / (1 - tan²α)
4.5 半角公式 (很少使用)
4.6 积化和差与和差化积 (一般不要求掌握)
五、解三角形
5.1 正弦定理
- a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (其中 R 是三角形外接圆的半径)
5.2 余弦定理
- a² = b² + c² - 2bc cos A
- b² = a² + c² - 2ac cos B
- c² = a² + b² - 2ab cos C
5.3 三角形面积公式
- S = (1/2)ab sin C = (1/2)bc sin A = (1/2)ac sin B
- S = (abc) / (4R) (R是外接圆半径)
- S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) (海伦公式，p = (a+b+c)/2)
六、实际应用
- 测量问题：如测量高度、距离、角度等。
- 物理问题：如简谐运动、波动等。
- 其他领域：如工程、航海等。
