《高一函数的思维导图》
一、 函数的概念与表示
1.1 函数的概念
- 1.1.1 定义：
- 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
- 关键词： 非空数集、任意一个、唯一确定。
- 1.1.2 要素：
- 定义域 (A)：自变量 x 的取值范围。
- 值域：函数值的集合 {f(x) | x∈A}。
- 对应关系 (f)：如何将定义域的每一个 x 映射到唯一的值 f(x)。
- 1.1.3 表示法：
- 解析法：用函数表达式表示函数关系，如 f(x) = x^2 + 1。
- 图像法：用函数图像直观表示函数关系。
- 列表法：用表格列出部分自变量和对应的函数值。
1.2 定义域
- 1.2.1 常见函数定义域的求法：
- 分母不为零。
- 根式下非负 (偶次根式)。
- 对数真数大于零，底数大于零且不等于1。
- 零的零次幂，底数不等于0。
- 实际问题考虑实际意义。
- 1.2.2 复合函数的定义域：
- 内层函数定义域是外层函数的范围。
- 求解步骤：确定内层函数的值域，并使得外层函数对应该值域有意义。
- 1.2.3 分段函数定义域：
- 各个段上的定义域的并集。
1.3 值域
- 1.3.1 常见函数值域的求法：
- 直接法：通过分析函数的性质，直接确定值域。
- 配方法：适用于二次函数，通过配方求出顶点坐标，从而确定值域。
- 反函数法：对于存在反函数的函数，可以通过求反函数的定义域来确定原函数的值域。
- 换元法：通过变量替换，将复杂的函数转化为简单的函数，从而求出值域。
- 不等式法：利用基本不等式求值域。
- 图像法：通过观察函数图像，直接确定值域。
- 1.3.2 分段函数值域：
- 各个段上的值域的并集。
1.4 函数的表示法
- 1.4.1 函数图像的绘制：
- 描点法：取若干个点，计算出对应的函数值，在坐标系中标出这些点，然后用平滑的曲线连接起来。
- 图像变换法：利用平移、伸缩、对称等变换，将已知函数的图像变换成所求函数的图像。
- 1.4.2 函数解析式的求法：
- 待定系数法：已知函数的类型，利用已知条件列方程组，求解系数。
- 换元法：通过变量替换，将函数表达式转化为可以用已知公式求解的形式。
- 方程组法：根据函数图像或已知条件，列方程组求解。
二、 函数的基本性质
2.1 单调性
- 2.1.1 定义：
- 增函数：在定义域内，如果当 x1 < x2 时，有 f(x1) < f(x2)，则称 f(x) 在该区间上是增函数。
- 减函数：在定义域内，如果当 x1 < x2 时，有 f(x1) > f(x2)，则称 f(x) 在该区间上是减函数。
- 2.1.2 判断方法：
- 定义法：取值、作差、变形、定号、判断。
- 导数法：通过求导，判断导数的正负，确定函数的单调性。
- 复合函数：同增异减原则。
- 2.1.3 应用：
- 解不等式：利用单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系。
- 求最值：单调函数在定义域的端点处取得最值。
- 比较大小：利用单调性，比较不同自变量对应的函数值的大小。
2.2 奇偶性
- 2.2.1 定义：
- 偶函数：对于定义域内的任意 x，都有 f(-x) = f(x)，则称 f(x) 为偶函数。图像关于y轴对称。
- 奇函数：对于定义域内的任意 x，都有 f(-x) = -f(x)，则称 f(x) 为奇函数。图像关于原点对称。
- 2.2.2 判断方法：
- 定义法：判断 f(-x) 与 f(x) 或 -f(x) 的关系。
- 图像法：观察函数图像是否关于 y 轴或原点对称。
- 2.2.3 性质：
- 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性。
- 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
- 奇函数过原点（如果x=0在定义域内）。
- 2.2.4 应用：
- 简化计算：利用奇偶性，将复杂的计算转化为简单的计算。
- 判断函数图像：利用奇偶性，判断函数图像的对称性。
2.3 周期性
- 2.3.1 定义：
- 如果存在一个非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x + T) = f(x)，则称 f(x) 为周期函数，T 为函数的周期。
- 2.3.2 判断方法：
- 直接证明：证明存在常数 T 满足 f(x + T) = f(x)。
- 利用特殊性质：例如，三角函数的周期性。
- 2.3.3 性质：
- 如果 T 是函数的周期，那么 nT 也是函数的周期（n 为整数）。
- 周期函数在每一个周期内都具有相同的图像。
- 2.3.4 应用：
- 简化计算：利用周期性，将复杂的计算转化为简单的计算。
- 判断函数图像：利用周期性，判断函数图像的重复性。
三、 基本初等函数
3.1 指数函数
- 3.1.1 定义：
- 形如 y = a^x (a > 0 且 a ≠ 1) 的函数称为指数函数。
- 3.1.2 图像与性质：
- a > 1 时，函数是增函数。
- 0 < a < 1 时，函数是减函数。
- 图像恒过 (0, 1) 点。
- 值域为 (0, +∞)。
3.2 对数函数
- 3.2.1 定义：
- 形如 y = logₐx (a > 0 且 a ≠ 1) 的函数称为对数函数。
- 3.2.2 图像与性质：
- a > 1 时，函数是增函数。
- 0 < a < 1 时，函数是减函数。
- 图像恒过 (1, 0) 点。
- 定义域为 (0, +∞)。
- 3.2.3 运算性质：
- logₐ(MN) = logₐM + logₐN
- logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
- logₐMⁿ = nlogₐM
- 换底公式：logₐb = logₓb / logₓa
3.3 幂函数
- 3.3.1 定义：
- 形如 y = x^α (α ∈ R) 的函数称为幂函数。
- 3.3.2 图像与性质：
- α > 0 时，图像过 (0, 0) 和 (1, 1) 点。
- α < 0 时，图像在第一象限内，且趋近于坐标轴。
- α = 0 时，y = 1 (x ≠ 0)。
- 性质受 α 的取值影响很大，需要分类讨论。
四、 函数的应用
4.1 函数与方程
- 4.1.1 函数的零点：
- 定义：使 f(x) = 0 的 x 值称为函数的零点。
- 函数图像与 x 轴的交点。
- 4.1.2 二分法：
- 适用于单调函数，通过不断二分区间，缩小零点所在的范围。
- 4.1.3 函数与方程的转化：
- 将方程的根转化为函数的零点。
- 利用函数的图像和性质，解决方程的解的问题。
4.2 函数模型及其应用
- 4.2.1 常见函数模型：
- 一次函数：y = kx + b
- 二次函数：y = ax² + bx + c
- 指数函数：y = a^x
- 对数函数：y = logₐx
- 幂函数：y = x^α
- 4.2.2 建立函数模型：
- 审题：理解题意，明确已知条件和所求问题。
- 设变量：选择适当的自变量和因变量。
- 列关系式：根据题意，建立函数关系式。
- 求解：求解函数关系式，得到问题的答案。
- 检验：检验答案的合理性，并进行必要的解释说明。
通过以上思维导图，能够系统地梳理高一函数的相关知识点，更好地理解和掌握函数的概念、性质和应用。