《高一必修二数学思维导图》

一、空间几何初步

1.1 空间几何体的结构

1.1.1 多面体

• 定义： 由若干个平面多边形围成的封闭几何体。
• 棱柱：
  • 定义： 有两个面互相平行且全等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体。
  • 分类： 斜棱柱、直棱柱、正棱柱
  • 性质： 底面是全等的多边形，侧棱平行且相等。
• 棱锥：
  • 定义： 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体。
  • 分类： 正棱锥
  • 性质： 底面是多边形，侧面是三角形，侧棱交于一点。
• 棱台：
  • 定义： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。
  • 分类： 正棱台
  • 性质： 上下底面平行且相似。
• 欧拉公式： 顶点数 V + 面数 F - 棱数 E = 2

1.1.2 旋转体

• 定义： 由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体。
• 圆柱：
  • 定义： 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的几何体。
  • 要素： 底面半径、高
  • 特征： 轴截面是矩形。
• 圆锥：
  • 定义： 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的几何体。
  • 要素： 底面半径、高、母线
  • 特征： 轴截面是等腰三角形。
• 圆台：
  • 定义： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。
  • 要素： 上下底面半径、高、母线
  • 特征： 轴截面是等腰梯形。
• 球：
  • 定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周而成的几何体。
  • 要素： 半径
  • 特征： 轴截面是圆。

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.2.1 三视图

• 定义： 正视图（前视图）、侧视图（左视图）、俯视图。
• 绘制原则： 长对正，高平齐，宽相等。
• 还原体积： 由三视图想象出空间几何体的形状，并计算其体积。

1.2.2 直观图

• 斜二测画法：
  • 步骤：
    1. 建立坐标系：取原图形Oxy坐标系，画O'x'y'坐标系，使∠x'O'y'=135°（或45°）。
    2. 平行对应：在原图上平行于x轴的线段，在直观图上平行于x'轴，长度保持不变；在原图上平行于y轴的线段，在直观图上平行于y'轴，长度变为原来的一半。
    3. 还原图形。
  • 用途： 用于画空间几何体的直观图。

1.3 空间几何体的表面积和体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积

• 棱柱：
  • 表面积： S = 2S_底 + S_侧
  • 体积： V = S_底h
• 棱锥：
  • 表面积： S = S_底 + S_侧
  • 体积： V = (1/3)S_底h
• 棱台：
  • 表面积： S = S_上底 + S_下底 + S_侧
  • 体积： V = (1/3)h(S_上底 + S_下底 + √(S_上底S_下底))
• 圆柱：
  • 表面积： S = 2πr² + 2πrh
  • 体积： V = πr²h
• 圆锥：
  • 表面积： S = πr² + πrl (l为母线)
  • 体积： V = (1/3)πr²h
• 圆台：
  • 表面积： S = π(r₁² + r₂²) + π(r₁ + r₂)l (l为母线)
  • 体积： V = (1/3)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂)
• 球：
  • 表面积： S = 4πR²
  • 体积： V = (4/3)πR³

二、点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1 公理和推论

• 公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
• 公理2： 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
• 公理3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
• 公理4： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
• 推论1： 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
• 推论2： 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
• 推论3： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

2.1.2 空间直线与直线的位置关系

• 共面直线： 在同一平面内的直线。
  • 相交直线： 有且只有一个公共点。
  • 平行直线： 没有公共点。
• 异面直线： 不在同一平面内的直线。
  • 判定： 既不相交，也不平行。
  • 异面直线所成的角： 经过空间一点，引两条直线分别与两条异面直线平行，这两条直线所成的锐角或直角。
  • 异面直线间的距离： 两条异面直线上分别存在唯一一点，使得这两点的连线与这两条异面直线都垂直，此连线段的长度为两条异面直线间的距离。

2.1.3 空间直线与平面的位置关系

• 直线在平面内： 直线上所有点都在平面内。
• 直线与平面相交： 有且只有一个公共点。
• 直线与平面平行： 没有公共点。
• 直线与平面垂直： 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。

2.1.4 平面与平面的位置关系

• 平行： 没有公共点。
• 相交： 有一条公共直线。
• 垂直： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定及其性质

• 判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。（线线平行 => 线面平行）
• 性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行 => 线线平行）

2.2.2 平面与平面平行的判定及其性质

• 判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（线面平行 => 面面平行）
• 性质定理： 如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（面面平行 => 线面平行）
• 推论： 如果两个平面同时垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定及其性质

• 判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线线垂直 => 线面垂直）
• 性质定理： 如果两条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。（线面垂直 => 线线垂直）
• 推论： 如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直 => 线线平行）

2.3.2 平面与平面垂直的判定及其性质

• 判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直 => 面面垂直）
• 性质定理： 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直 => 线面垂直）

三、直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1.1 倾斜角

• 定义： 一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角。
• 范围： [0, π)

3.1.2 斜率

• 定义： 倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，通常用k表示。 k = tanα
• 计算公式：
  • 已知两点：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) (x₁ ≠ x₂)
• 倾斜角与斜率的关系：
  • α = 0°, k = 0
  • 0° < α < 90°, k > 0
  • α = 90°, k 不存在
  • 90° < α < 180°, k < 0

3.2 直线的方程

3.2.1 直线的五种方程形式

• 点斜式： y - y₀ = k(x - x₀)
• 斜截式： y = kx + b
• 两点式： (y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁) (x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂)
• 截距式： x/a + y/b = 1 (a ≠ 0, b ≠ 0)
• 一般式： Ax + By + C = 0 (A, B不同时为0)

3.2.2 直线方程的相互转化

• 灵活运用各种形式，选择合适的方程形式解决问题。

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两条直线的交点坐标

• 求法： 解两条直线方程组成的方程组。
• 判断：
  • 方程组有唯一解：两条直线相交。
  • 方程组无解：两条直线平行。
  • 方程组有无数解：两条直线重合。

3.3.2 距离公式

• 两点间距离： |AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
• 点到直线距离： d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
• 两条平行线间距离： d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²) (Ax + By + C₁ = 0 与 Ax + By + C₂ = 0)

3.4 简单的线性规划问题

3.4.1 二元一次不等式表示平面区域

• 步骤：
  1. 画出直线Ax + By + C = 0
  2. 确定区域：一般取(0, 0) 代入Ax + By + C，根据结果判断。

3.4.2 线性规划问题

• 基本概念：
  • 目标函数： 要求最大值或最小值的一个关于变量x, y的函数。
  • 约束条件： 变量x, y所满足的条件，通常是由若干个不等式组成。
  • 可行域： 由约束条件确定的区域。
  • 最优解： 使目标函数达到最大值或最小值的解。
• 解题步骤：
  1. 画出可行域。
  2. 将目标函数变形为y = - (A/B)x + z/B 的形式，视为斜率为 -A/B，纵截距为z/B的直线。
  3. 平移直线，找到z/B取最大或最小值时所对应的可行域上的点，即最优解。
  4. 求出最优解的坐标，代入目标函数求得最大值或最小值。

四、圆与方程

4.1 圆的标准方程与一般方程

4.1.1 圆的标准方程

• 形式： (x - a)² + (y - b)² = r²
• 圆心： (a, b)
• 半径： r

4.1.2 圆的一般方程

• 形式： x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² - 4F > 0)
• 圆心： (-D/2, -E/2)
• 半径： r = √(D² + E² - 4F) / 2

4.2 直线与圆的位置关系

4.2.1 几何法

• 方法： 比较圆心到直线的距离d与半径r的大小。
  • d < r：相交
  • d = r：相切
  • d > r：相离

4.2.2 代数法

• 方法： 联立直线方程与圆的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，判别式为Δ。
  • Δ > 0：相交
  • Δ = 0：相切
  • Δ < 0：相离

4.3 圆与圆的位置关系

4.3.1 几何法

• 方法： 比较圆心距d与两圆半径之和(r₁ + r₂)和之差|r₁ - r₂|的大小。
  • d > r₁ + r₂：外离
  • d = r₁ + r₂：外切
  • |r₁ - r₂| < d < r₁ + r₂：相交
  • d = |r₁ - r₂|：内切
  • 0 ≤ d < |r₁ - r₂|：内含

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