《初一数学思维导图高清》

一、有理数

1.1 概念

• 有理数： 整数和分数的统称。

  • 整数： 正整数、零、负整数。
  • 分数： 正分数、负分数。
  • 注意： 无限不循环小数不是有理数，例如π。

• 数轴： 规定了原点、正方向和单位长度的直线。

  • 原点： 表示0的点。
  • 正方向： 数轴上箭头所指的方向。
  • 单位长度： 数轴上相邻两点间的距离。
  • 数轴的作用：
    • 直观地表示数（所有的有理数都可以用数轴上的点表示）。
    • 比较有理数的大小。

• 相反数： 只有符号不同的两个数。

  • 几何意义： 数轴上表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
  • 代数意义： a的相反数是 -a。

• 绝对值： 数轴上表示一个数的点到原点的距离。

  • 代数定义：
    • |a| = a (a ≥ 0)
    • |a| = -a (a < 0)
  • 性质：
    • 非负性：|a| ≥ 0。
    • |a| = |-a|。

• 倒数： 乘积为1的两个数互为倒数。

  • 注意： 0没有倒数。
  • 代数意义： a的倒数是 1/a (a ≠ 0)。

1.2 有理数的运算

• 加法：

  • 同号相加： 取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号相加： 绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得零。
  • 零加任何数： 仍得这个数。

• 减法： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 a - b = a + (-b)

• 乘法：

  • 两数相乘： 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数与零相乘： 都得零。

• 除法：

  • 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
  • 两数相除： 同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
  • 零除以任何非零数： 都得零。

• 乘方： 求n个相同因数的积的运算。

  • an： a叫做底数，n叫做指数。
  • 性质：
    • 正数的任何次幂都是正数。
    • 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
    • 0的任何正整数次幂都是0。

• 运算律：

  • 加法交换律： a + b = b + a
  • 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
  • 乘法交换律： a × b = b × a
  • 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法分配律： a × (b + c) = a × b + a × c

• 运算顺序：

  1. 先乘方，后乘除，最后加减。
  2. 同级运算，从左到右进行。
  3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

1.3 科学计数法

• 定义： 把一个大于10的数表示成 a × 10n 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n是正整数。

二、代数式

2.1 概念

• 代数式： 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。

• 单项式： 由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也叫单项式。

  • 系数： 单项式中的数字因数。
  • 次数： 单项式中所有字母的指数的和。

• 多项式： 几个单项式的和组成的代数式。

  • 项： 多项式中的每个单项式。
  • 常数项： 不含字母的项。
  • 次数： 多项式中次数最高的项的次数。

• 整式： 单项式和多项式统称为整式。

• 同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

  • 合并同类项： 把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

2.2 代数式的化简与求值

• 去括号法则：

  • 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号。
  • 括号前是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都变号。

• 合并同类项：

  1. 找出同类项。
  2. 运用加法交换律、结合律将同类项结合在一起。
  3. 合并同类项，系数相加减，字母和字母的指数不变。

• 代数式求值：

  1. 先化简代数式。
  2. 将已知字母的值代入化简后的代数式，计算求值。

三、一元一次方程

3.1 概念

• 方程： 含有未知数的等式。
• 一元一次方程： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程。
• 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值。
• 解方程： 求方程解的过程。

3.2 解方程的方法

• 等式的性质：

  • 等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式。
  • 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。

• 移项： 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。

• 解一元一次方程的步骤：

  1. 去分母（如果方程中含有分母）：在方程的两边同乘各分母的最小公倍数。
  2. 去括号（如果方程中含有括号）：按照去括号法则进行。
  3. 移项：把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边。
  4. 合并同类项：将方程两边分别合并同类项，使方程简化为 ax = b 的形式。
  5. 系数化为1：在方程两边同时除以未知数的系数a，得到 x = b/a 。

3.3 一元一次方程的应用

• 列方程解应用题的步骤：

  1. 审题： 分析题意，弄清已知量和未知量及其关系。
  2. 设未知数： 选择适当的未知数用字母表示，并注明单位。
  3. 列方程： 根据题中的相等关系，列出方程。
  4. 解方程： 求出方程的解。
  5. 检验： 检验所求的解是否符合题意。
  6. 答： 写出答案，并注明单位。

• 常见的应用题类型：

  • 行程问题： 速度 × 时间 = 路程
  • 工程问题： 工作效率 × 工作时间 = 工作量
  • 利润问题： 利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 / 进价 × 100%
  • 数字问题： 设十位数为x，个位数为y，则两位数表示为10x + y。
  • 分配问题： 注意总量的确定和分配关系的表达。

四、几何图形初步

4.1 几何图形

• 立体图形： 从不同方向看得到的平面图形可能不同。

  • 棱柱： 上下底面是相同的多边形，侧面是长方形。
  • 圆柱： 上下底面是相同的圆形，侧面是曲面。
  • 圆锥： 底面是圆形，侧面是曲面。
  • 球： 由曲面围成的立体图形。

• 平面图形：

  • 点： 没有大小，只有位置。
  • 线： 由无数个点组成。
    • 直线： 向两方无限延伸。
    • 射线： 向一方无限延伸。
    • 线段： 直线上两点间的部分。

4.2 线段与角

• 线段的比较与测量：

  • 用刻度尺测量： 注意对齐零刻度。
  • 用圆规比较： 比较线段的长短。
  • 线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点。

• 角的度量与表示：

  • 角的单位： 度 (°)，分 (')，秒 ('')。
  • 角度的换算： 1° = 60'，1' = 60''。
  • 角的表示方法：
    • 用三个大写字母表示（顶点字母放在中间）。
    • 用一个大写字母表示（当顶点只有一个角时）。
    • 用一个数字或希腊字母表示。

• 角的分类：

  • 锐角： 大于0°小于90°的角。
  • 直角： 等于90°的角。
  • 钝角： 大于90°小于180°的角。
  • 平角： 等于180°的角。
  • 周角： 等于360°的角。

• 角平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。

• 余角和补角：

  • 余角： 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角。
  • 补角： 如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。
  • 性质： 同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。

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