初二数学上册思维导图

### 3. 角平分线的性质与判定

*   **性质:** 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
*   **判定:** 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

### 4. 线段的垂直平分线的性质与判定

*   **性质:** 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
*   **判定:** 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

### 5. 全等三角形的应用

*   证明线段相等
*   证明角相等
*   证明线段之间的位置关系 (平行、垂直)
*   证明角之间的关系 (相等、互补、互余)
*   构造辅助线，利用全等三角形解题

## 二、轴对称

### 1. 轴对称图形

*   **定义:** 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
*   **常见轴对称图形:**
    *   线段
    *   角
    *   等腰三角形
    *   等边三角形
    *   矩形
    *   正方形
    *   圆
    *   等腰梯形

### 2. 轴对称的性质

*   对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
*   对应线段相等，对应角相等。
*   图形经过轴对称变换后得到的图形与原图形全等。

### 3. 等腰三角形

*   **定义:** 有两条边相等的三角形。
*   **性质:**
    *   两底角相等 (等边对等角)
    *   顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (三线合一)
*   **判定:**
    *   有两个角相等的三角形是等腰三角形 (等角对等边)

### 4. 等边三角形

*   **定义:** 三条边都相等的三角形。
*   **性质:**
    *   三个角都等于60°
    *   三条边上的高、中线、角平分线都相等。
*   **判定:**
    *   三个角都相等的三角形是等边三角形。
    *   有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

### 5. 轴对称的应用

*   利用轴对称求最短路径问题。
*   利用轴对称进行图案设计。
*   证明几何问题。

## 三、实数

### 1. 平方根

*   **定义:** 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作 ±√a 。
*   **算术平方根:** 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作 √a 。
*   **性质:**
    *   正数有两个平方根，且互为相反数。
    *   0的平方根是0。
    *   负数没有平方根。

### 2. 立方根

*   **定义:** 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作 ³√a 。
*   **性质:**
    *   正数有一个正的立方根。
    *   0的立方根是0。
    *   负数有一个负的立方根。

### 3. 实数

*   **定义:** 有理数和无理数统称为实数。
*   **分类:**
    *   按定义分：有理数，无理数
    *   按性质分：正实数，0，负实数
*   **性质:**
    *   实数与数轴上的点一一对应。
    *   实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，且运算结果还是实数。

### 4. 无理数

*   **定义:** 无限不循环小数叫做无理数。
*   **常见类型:**
    *   开方开不尽的数，如 √2, ³√5 等。
    *   有特定意义的数，如 π 等。
    *   结构复杂的无限不循环小数，如0.1010010001…(每两个1之间多一个0)

### 5. 实数的运算

*   运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减，同级运算从左到右，有括号先算括号里的。
*   运算律：交换律，结合律，分配律等。

## 四、整式的乘除与因式分解

### 1. 幂的运算

*   **同底数幂的乘法:** a^m * a^n = a^(m+n) (m, n是正整数)
*   **幂的乘方:** (a^m)^n = a^(mn) (m, n是正整数)
*   **积的乘方:** (ab)^n = a^n * b^n (n是正整数)
*   **同底数幂的除法:** a^m / a^n = a^(m-n) (a≠0, m, n是正整数，且m>n)
*   **零指数幂:** a^0 = 1 (a≠0)
*   **负整数指数幂:** a^(-p) = 1/a^p (a≠0, p是正整数)

### 2. 整式的乘法

*   **单项式乘单项式:** 系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同指数不变作为积的因式。
*   **单项式乘多项式:** 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
*   **多项式乘多项式:** 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

### 3. 乘法公式

*   **平方差公式:** (a+b)(a-b) = a² - b²
*   **完全平方公式:** (a+b)² = a² + 2ab + b²  ; (a-b)² = a² - 2ab + b²

### 4. 整式的除法

*   **单项式除以单项式:** 系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式里含有的字母连同指数作为商的因式。
*   **多项式除以单项式:** 用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

### 5. 因式分解

*   **定义:** 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫作分解因式。
*   **方法:**
    *   **提公因式法:** ma + mb + mc = m(a + b + c)
    *   **运用公式法:**
        *   平方差公式: a² - b² = (a+b)(a-b)
        *   完全平方公式: a² + 2ab + b² = (a+b)²  ;  a² - 2ab + b² = (a-b)²
*   **步骤:** 先看有没有公因式，有就先提公因式；再看是否能用公式法。分解因式要分解到不能再分解为止。

## 五、分式

### 1. 分式的概念

*   **定义:** 形如 A/B 的式子，其中A、B是整式，且B中含有字母，B≠0，这种式子叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
*   **分式有意义的条件:** 分母不等于零 (B≠0)。
*   **分式的值为零的条件:** 分子等于零，且分母不等于零 (A=0且B≠0)。

### 2. 分式的基本性质

*   **性质:** 分式的分子与分母都乘以 (或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变。
*   **表达式:** A/B = (A*C)/(B*C) = (A/C)/(B/C)  (C≠0)

### 3. 分式的运算

*   **约分:** 把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
*   **通分:** 把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做通分。
*   **分式的乘法:** A/B * C/D = (A*C)/(B*D)
*   **分式的除法:** A/B ÷ C/D = A/B * D/C = (A*D)/(B*C)
*   **分式的加减法:**
    *   同分母分式相加减：分母不变，分子相加减。
    *   异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再相加减。

### 4. 零指数幂与负整数指数幂

*   复习巩固

### 5. 分式方程

*   **定义:** 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
*   **解法:**
    1.  方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程。
    2.  解整式方程。
    3.  检验：把整式方程的解代入最简公分母，看结果是否为零，如果不为零，则是原分式方程的解；如果为零，则不是原分式方程的解。
*   **增根:** 使最简公分母为零的根是原分式方程的增根，增根要舍去。
*   **分式方程的应用:** 解实际应用题，注意检验。

《初二数学上册思维导图》

一、全等三角形

1. 全等三角形的概念与性质

定义: 能够完全重合的两个三角形。
性质:
- 对应边相等
- 对应角相等

2. 全等三角形的判定方法

边角边 (SAS): 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
角边角 (ASA): 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
角角边 (AAS): 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
边边边 (SSS): 三边对应相等的两个三角形全等。
斜边、直角边 (HL): 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（仅适用于直角三角形）

3. 角平分线的性质与判定

性质: 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
判定: 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

4. 线段的垂直平分线的性质与判定

性质: 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
判定: 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

5. 全等三角形的应用

证明线段相等
证明角相等
证明线段之间的位置关系 (平行、垂直)
证明角之间的关系 (相等、互补、互余)
构造辅助线，利用全等三角形解题

二、轴对称

1. 轴对称图形

定义: 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
常见轴对称图形:
- 线段
- 角
- 等腰三角形
- 等边三角形
- 矩形
- 正方形
- 圆
- 等腰梯形

2. 轴对称的性质

对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
对应线段相等，对应角相等。
图形经过轴对称变换后得到的图形与原图形全等。

3. 等腰三角形

定义: 有两条边相等的三角形。
性质:
- 两底角相等 (等边对等角)
- 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (三线合一)
判定:
- 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (等角对等边)

4. 等边三角形

定义: 三条边都相等的三角形。
性质:
- 三个角都等于60°
- 三条边上的高、中线、角平分线都相等。
判定:
- 三个角都相等的三角形是等边三角形。
- 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

5. 轴对称的应用

利用轴对称求最短路径问题。
利用轴对称进行图案设计。
证明几何问题。

三、实数

1. 平方根

定义: 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作 ±√a 。
算术平方根: 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作 √a 。
性质:
- 正数有两个平方根，且互为相反数。
- 0的平方根是0。
- 负数没有平方根。

2. 立方根

定义: 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作 ³√a 。
性质:
- 正数有一个正的立方根。
- 0的立方根是0。
- 负数有一个负的立方根。

3. 实数

定义: 有理数和无理数统称为实数。
分类:
- 按定义分：有理数，无理数
- 按性质分：正实数，0，负实数
性质:
- 实数与数轴上的点一一对应。
- 实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，且运算结果还是实数。

4. 无理数

定义: 无限不循环小数叫做无理数。
常见类型:
- 开方开不尽的数，如 √2, ³√5 等。
- 有特定意义的数，如 π 等。
- 结构复杂的无限不循环小数，如0.1010010001…(每两个1之间多一个0)

5. 实数的运算

运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减，同级运算从左到右，有括号先算括号里的。
运算律：交换律，结合律，分配律等。

四、整式的乘除与因式分解

1. 幂的运算

同底数幂的乘法: a^m * a^n = a^(m+n) (m, n是正整数)
幂的乘方: (a^m)^n = a^(mn) (m, n是正整数)
积的乘方: (ab)^n = a^n * b^n (n是正整数)
同底数幂的除法: a^m / a^n = a^(m-n) (a≠0, m, n是正整数，且m>n)
零指数幂: a^0 = 1 (a≠0)
负整数指数幂: a^(-p) = 1/a^p (a≠0, p是正整数)

2. 整式的乘法

单项式乘单项式: 系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同指数不变作为积的因式。
单项式乘多项式: 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式乘多项式: 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

3. 乘法公式

平方差公式: (a+b)(a-b) = a² - b²
完全平方公式: (a+b)² = a² + 2ab + b² ; (a-b)² = a² - 2ab + b²

4. 整式的除法

单项式除以单项式: 系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式里含有的字母连同指数作为商的因式。
多项式除以单项式: 用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

5. 因式分解

定义: 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫作分解因式。
方法:
- 提公因式法: ma + mb + mc = m(a + b + c)
- 运用公式法:
  - 平方差公式: a² - b² = (a+b)(a-b)
  - 完全平方公式: a² + 2ab + b² = (a+b)² ; a² - 2ab + b² = (a-b)²
步骤: 先看有没有公因式，有就先提公因式；再看是否能用公式法。分解因式要分解到不能再分解为止。

五、分式

1. 分式的概念

定义: 形如 A/B 的式子，其中A、B是整式，且B中含有字母，B≠0，这种式子叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式有意义的条件: 分母不等于零 (B≠0)。
分式的值为零的条件: 分子等于零，且分母不等于零 (A=0且B≠0)。

2. 分式的基本性质

性质: 分式的分子与分母都乘以 (或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变。
表达式: A/B = (AC)/(BC) = (A/C)/(B/C) (C≠0)

3. 分式的运算

约分: 把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
通分: 把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做通分。
分式的乘法: A/B C/D = (AC)/(B*D)
分式的除法: A/B ÷ C/D = A/B D/C = (AD)/(B*C)
分式的加减法:
- 同分母分式相加减：分母不变，分子相加减。
- 异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再相加减。

4. 零指数幂与负整数指数幂

复习巩固

5. 分式方程

定义: 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解法:
1. 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程。
2. 解整式方程。
3. 检验：把整式方程的解代入最简公分母，看结果是否为零，如果不为零，则是原分式方程的解；如果为零，则不是原分式方程的解。
增根: 使最简公分母为零的根是原分式方程的增根，增根要舍去。
分式方程的应用: 解实际应用题，注意检验。

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