小学五上数学思维导图

# 《小学五上数学思维导图》

## 一、数与运算

### 1. 小数的意义和性质

#### 1.1 小数的意义
*   表示十分之几、百分之几、千分之几……的数
*   小数是分数的另一种表现形式
*   小数点：分隔整数部分和小数部分

#### 1.2 小数的读法和写法
*   读法：整数部分按整数读法，小数点读作“点”，小数部分依次读出各个数位上的数字
*   写法：整数部分按整数写法，小数点写在个位的右下角，小数部分依次写出各个数位上的数字

#### 1.3 小数的性质
*   小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变
*   应用：化简小数、改变小数的计数单位

#### 1.4 小数的大小比较
*   先比较整数部分，整数部分大的数就大
*   整数部分相同，比较十分位，十分位大的数就大
*   十分位相同，比较百分位，依此类推

#### 1.5 小数点的移动引起小数大小的变化
*   向右移动一位，扩大到原来的10倍
*   向右移动两位，扩大到原来的100倍
*   向右移动三位，扩大到原来的1000倍
*   向左移动一位，缩小到原来的1/10
*   向左移动两位，缩小到原来的1/100
*   向左移动三位，缩小到原来的1/1000

#### 1.6 单位换算
*   高级单位换算成低级单位：乘进率
*   低级单位换算成高级单位：除以进率

### 2. 小数的加法和减法

#### 2.1 竖式计算
*   小数点对齐（相同数位对齐）
*   从低位算起，满十进一，退一当十

#### 2.2 简便计算
*   加法交换律：a + b = b + a
*   加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
*   减法的性质：a - b - c = a - (b + c)
*   结合小数的性质进行简便计算

### 3. 小数的乘法

#### 3.1 意义
*   一个数乘以小数：求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少
*   一个数乘以整数：与整数乘法的意义相同

#### 3.2 竖式计算
*   按整数乘法算出积
*   看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点

#### 3.3 积的小数位数
*   因数的小数位数和等于积的小数位数

#### 3.4 简便计算
*   乘法交换律：a × b = b × a
*   乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
*   乘法分配律：(a + b) × c = a × c + b × c

### 4. 小数的除法

#### 4.1 意义
*   已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算
*   整数除以小数，与整数除法的意义相同

#### 4.2 竖式计算
*   除数是小数：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算
*   除数是整数：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”再继续除

#### 4.3 商的近似数
*   根据要求，多除一位，然后按照“四舍五入”法取近似值

#### 4.4 循环小数
*   一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数
*   循环节：循环小数中依次不断重复出现的数字
*   简便写法：写两个循环节，并在第一个循环节的第一个数字和最后一个数字上面点上圆点

## 二、空间与图形

### 1. 平行四边形的面积

#### 1.1 面积的概念
*   物体所占平面的大小

#### 1.2 平行四边形的面积计算
*   公式：底 × 高 (S = ah)
*   推导：割补法，将平行四边形转化为长方形

### 2. 三角形的面积

#### 2.1 面积计算
*   公式：底 × 高 ÷ 2 (S = ah/2)
*   推导：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形

### 3. 梯形的面积

#### 3.1 面积计算
*   公式：(上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a+b)h/2)
*   推导：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形

### 4. 组合图形的面积

#### 4.1 分割法
*   将组合图形分割成几个基本图形（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形）
*   分别计算这些基本图形的面积，再相加

#### 4.2 添补法
*   将组合图形添补成一个基本图形
*   计算添补后的图形面积，再减去添补部分的面积

## 三、方程

### 1. 用字母表示数
*   表示运算定律
*   表示计算公式
*   表示数量关系

### 2. 方程的意义
*   含有未知数的等式叫做方程
*   等式不一定是方程，但方程一定是等式

### 3. 等式的性质
*   等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等
*   等式两边同时乘或除以同一个非零的数，左右两边仍然相等

### 4. 解方程
*   使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解
*   求方程的解的过程叫做解方程

### 5. 列方程解决问题
*   找出等量关系
*   设未知数
*   根据等量关系列方程
*   解方程
*   检验并写答案

## 四、统计与可能性

### 1. 可能性的大小
*   可能性：事件发生的可能性
*   可能性的大小与事件发生的概率相关
*   一般情况下，事件发生的可能性用分数表示
*   在总数一定的情况下，某事件所包含的结果数越多，可能性越大；反之，可能性越小

## 五、数学思想方法

### 1. 数形结合思想
*   通过图形来理解数量关系，解决数学问题

### 2. 转化思想
*   将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题

### 3. 模型思想
*   将实际问题抽象成数学模型，利用数学知识解决实际问题

### 4. 优化思想
*   在解决问题时，选择最合适、最有效的方法

### 5. 符号化思想
*   用字母、符号等来表示数量关系，方便计算和推理

### 6. 集合思想
*   对事物进行分类、整理，形成集合的概念

### 7. 假设思想
*   先假设某种情况成立，然后进行推理，得出结论

《小学五上数学思维导图》

一、数与运算

1. 小数的意义和性质

1.1 小数的意义

表示十分之几、百分之几、千分之几……的数
小数是分数的另一种表现形式
小数点：分隔整数部分和小数部分

1.2 小数的读法和写法

读法：整数部分按整数读法，小数点读作“点”，小数部分依次读出各个数位上的数字
写法：整数部分按整数写法，小数点写在个位的右下角，小数部分依次写出各个数位上的数字

1.3 小数的性质

小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变
应用：化简小数、改变小数的计数单位

1.4 小数的大小比较

先比较整数部分，整数部分大的数就大
整数部分相同，比较十分位，十分位大的数就大
十分位相同，比较百分位，依此类推

1.5 小数点的移动引起小数大小的变化

向右移动一位，扩大到原来的10倍
向右移动两位，扩大到原来的100倍
向右移动三位，扩大到原来的1000倍
向左移动一位，缩小到原来的1/10
向左移动两位，缩小到原来的1/100
向左移动三位，缩小到原来的1/1000

1.6 单位换算

高级单位换算成低级单位：乘进率
低级单位换算成高级单位：除以进率

2. 小数的加法和减法

2.1 竖式计算

小数点对齐（相同数位对齐）
从低位算起，满十进一，退一当十

2.2 简便计算

加法交换律：a + b = b + a
加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
减法的性质：a - b - c = a - (b + c)
结合小数的性质进行简便计算

3. 小数的乘法

3.1 意义

一个数乘以小数：求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少
一个数乘以整数：与整数乘法的意义相同

3.2 竖式计算

按整数乘法算出积
看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点

3.3 积的小数位数

因数的小数位数和等于积的小数位数

3.4 简便计算

乘法交换律：a × b = b × a
乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
乘法分配律：(a + b) × c = a × c + b × c

4. 小数的除法

4.1 意义

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算
整数除以小数，与整数除法的意义相同

4.2 竖式计算

除数是小数：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算
除数是整数：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”再继续除

4.3 商的近似数

根据要求，多除一位，然后按照“四舍五入”法取近似值

4.4 循环小数

一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数
循环节：循环小数中依次不断重复出现的数字
简便写法：写两个循环节，并在第一个循环节的第一个数字和最后一个数字上面点上圆点

二、空间与图形

1. 平行四边形的面积

1.1 面积的概念

物体所占平面的大小

1.2 平行四边形的面积计算

公式：底 × 高 (S = ah)
推导：割补法，将平行四边形转化为长方形

2. 三角形的面积

2.1 面积计算

公式：底 × 高 ÷ 2 (S = ah/2)
推导：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形

3. 梯形的面积

3.1 面积计算

公式：(上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a+b)h/2)
推导：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形

4. 组合图形的面积

4.1 分割法

将组合图形分割成几个基本图形（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形）
分别计算这些基本图形的面积，再相加

4.2 添补法

将组合图形添补成一个基本图形
计算添补后的图形面积，再减去添补部分的面积

三、方程

1. 用字母表示数

表示运算定律
表示计算公式
表示数量关系

2. 方程的意义

含有未知数的等式叫做方程
等式不一定是方程，但方程一定是等式

3. 等式的性质

等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等
等式两边同时乘或除以同一个非零的数，左右两边仍然相等

4. 解方程

使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解
求方程的解的过程叫做解方程

5. 列方程解决问题

找出等量关系
设未知数
根据等量关系列方程
解方程
检验并写答案

四、统计与可能性

1. 可能性的大小

可能性：事件发生的可能性
可能性的大小与事件发生的概率相关
一般情况下，事件发生的可能性用分数表示
在总数一定的情况下，某事件所包含的结果数越多，可能性越大；反之，可能性越小

五、数学思想方法

1. 数形结合思想

通过图形来理解数量关系，解决数学问题

2. 转化思想

将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题

3. 模型思想

将实际问题抽象成数学模型，利用数学知识解决实际问题

4. 优化思想

在解决问题时，选择最合适、最有效的方法

5. 符号化思想

用字母、符号等来表示数量关系，方便计算和推理

6. 集合思想

对事物进行分类、整理，形成集合的概念

7. 假设思想

先假设某种情况成立，然后进行推理，得出结论

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