《九上数学每章思维导图》
一、 二次函数
1. 定义与性质
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1.1 定义： 形如 y = ax² + bx + c (a≠0) 的函数
- 1.1.1 一般式： y = ax² + bx + c
- 1.1.2 顶点式： y = a(x-h)² + k，其中 (h, k) 为顶点坐标
- 1.1.3 交点式： y = a(x-x₁)(x-x₂)，其中 x₁、x₂ 为与 x 轴的交点横坐标
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1.2 图象： 抛物线
- 1.2.1 开口方向： a > 0 时，开口向上； a < 0 时，开口向下
- 1.2.2 对称轴： 直线 x = -b/2a
- 1.2.3 顶点坐标： (-b/2a, (4ac-b²)/4a) 或 (h, k)
- 1.2.4 与 x 轴的交点：
- Δ = b² - 4ac > 0，有两个交点
- Δ = b² - 4ac = 0，有一个交点
- Δ = b² - 4ac < 0，没有交点
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1.3 性质：
- 1.3.1 最值： a > 0 时，在顶点处有最小值； a < 0 时，在顶点处有最大值
- 1.3.2 增减性：
- a > 0 时，对称轴左侧递减，右侧递增
- a < 0 时，对称轴左侧递增，右侧递减
- 1.3.3 对称性： 关于对称轴对称
2. 二次函数解析式的确定
- 2.1 已知三个点： 设一般式 y = ax² + bx + c，代入三个点坐标，解三元一次方程组
- 2.2 已知顶点坐标或对称轴及一点： 设顶点式 y = a(x-h)² + k，代入一点坐标求 a
- 2.3 已知与 x 轴的两个交点： 设交点式 y = a(x-x₁)(x-x₂)，代入另一点坐标求 a
3. 二次函数的应用
- 3.1 实际问题中的最值问题： 建立二次函数模型，求顶点坐标
- 3.2 抛物线形问题： 建立坐标系，将实际问题转化为数学问题
4. 二次函数与一元二次方程的关系
- 4.1 图像与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程的根
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4.2 Δ = b² - 4ac 与根的关系
5. 二次函数与一次函数综合
- 5.1 求交点
- 5.2 函数图像结合不等式
二、 旋转
1. 旋转的定义和性质
- 1.1 定义： 在平面内，将一个图形绕着一个定点，按某个方向旋转一定的角度，这样的图形变换叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。
- 1.2 性质：
- 1.2.1 对应点到旋转中心的距离相等
- 1.2.2 对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角
- 1.2.3 旋转前后图形全等
2. 旋转的作图
- 2.1 中心对称图形： 图形绕某点旋转 180° 后与自身重合
- 2.2 旋转对称图形： 图形绕某点旋转 n° 后与自身重合 (n < 360°)
3. 旋转的应用
- 3.1 利用旋转构造辅助线解决几何问题
- 3.2 利用旋转解决实际问题
- 3.3 图案设计
4. 旋转与其它几何图形的结合
- 4.1 旋转与三角形
- 4.2 旋转与四边形
- 4.3 旋转与圆
三、 圆
1. 圆的定义及相关概念
- 1.1 定义： 到定点的距离等于定长的点的集合
- 1.2 相关概念：
- 1.2.1 圆心、半径、直径、弦、弧、优弧、劣弧、半圆、扇形
- 1.2.2 圆心角、圆周角
2. 圆的性质
- 2.1 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
- 2.2 圆心角、弧、弦的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
- 2.3 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
- 2.4 同弧或等弧所对的圆周角相等
- 2.5 直径所对的圆周角是直角
- 2.6 90°的圆周角所对的弦是直径
3. 点与圆的位置关系
- 3.1 点在圆内： d < r
- 3.2 点在圆上： d = r
- 3.3 点在圆外： d > r （其中 d 为点到圆心的距离，r 为圆的半径）
4. 直线与圆的位置关系
- 4.1 相交： d < r
- 4.2 相切： d = r
- 4.3 相离： d > r (其中 d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径)
- 4.4 切线的判定和性质：
- 4.4.1 切线的判定： 经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线
- 4.4.2 切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径
5. 圆与圆的位置关系
- 5.1 外离： d > R + r
- 5.2 外切： d = R + r
- 5.3 相交： R - r < d < R + r
- 5.4 内切： d = R - r (R > r)
- 5.5 内含： d < R - r (R > r) （其中 d 为两圆圆心距，R、r 为两圆半径）
6. 正多边形与圆
- 6.1 正多边形的中心、半径、边心距、中心角
- 6.2 正多边形的计算
7. 弧长和扇形面积
- 7.1 弧长公式： l = nπr/180 (n 为圆心角度数，r 为半径)
- 7.2 扇形面积公式： S = nπr²/360 = lr/2 (n 为圆心角度数，r 为半径，l 为弧长)
- 7.3 圆锥的侧面积： S = πrl (r 为底面圆半径，l 为母线长)
四、 概率初步
1. 随机事件与概率
- 1.1 随机事件： 可能发生也可能不发生的事件
- 1.2 确定事件： 一定发生的事件（必然事件）或一定不发生的事件（不可能事件）
- 1.3 概率： 衡量随机事件发生的可能性大小的量
- 1.4 概率的计算： P(A) = 事件 A 发生的可能结果数 / 所有可能结果总数
2. 概率的求法
- 2.1 列表法： 适用于两步完成的试验
- 2.2 树状图法： 适用于多步完成的试验
3. 用频率估计概率
- 3.1 大量重复试验中，频率会趋于稳定，可以用频率估计概率
- 3.2 频率与概率的区别与联系
4. 游戏公平性
- 4.1 判断游戏规则是否公平： 看游戏中各事件发生的概率是否相等