《七上数学思维导图总结》
一、有理数
1.1 有理数的概念
- 1.1.1 正数与负数
- 定义：大于0的数是正数，小于0的数是负数。
- 0：既不是正数，也不是负数。
- 作用：表示具有相反意义的量。
- 例子：收入与支出，上升与下降，盈利与亏损等。
- 1.1.2 有理数的分类
- 按定义分：
- 有理数
- 正有理数
- 正整数
- 正分数
- 0
- 负有理数
- 负整数
- 负分数
- 正有理数
- 有理数
- 按性质分：
- 有理数
- 整数
- 正整数
- 0
- 负整数
- 分数
- 正分数
- 负分数
- 整数
- 有理数
- 按定义分：
1.2 数轴
- 1.2.1 数轴的定义
- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
- 三个要素：原点，正方向，单位长度。
- 作用：直观地表示数，帮助理解数的大小关系。
- 1.2.2 数轴上的点与有理数
- 一一对应关系：数轴上的点与有理数之间存在一一对应关系。
- 大小关系：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
1.3 绝对值
- 1.3.1 绝对值的定义
- 几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值。
- 代数意义：
- a > 0，|a| = a
- a = 0，|a| = 0
- a < 0，|a| = -a
- 1.3.2 绝对值的性质
- 非负性：|a| ≥ 0，绝对值最小的数是0。
- |a| = | -a |
- 若|a| = |b|，则 a = b 或 a = -b
- 1.3.3 绝对值的应用
- 化简含绝对值的式子。
- 比较有理数的大小。
1.4 有理数的加法
- 1.4.1 有理数加法法则
- 同号相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
- 异号相加：绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等时，结果为0。
- 任何数与0相加，仍得这个数。
- 1.4.2 有理数加法运算律
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 1.4.3 有理数加法的应用
- 简化运算。
- 解决实际问题，例如计算总收入/支出，温差等。
1.5 有理数的减法
- 1.5.1 有理数减法法则
- 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
- a - b = a + (-b)
- 1.5.2 有理数减法的应用
- 简化运算。
- 计算两个数之间的距离（数轴上）。
1.6 有理数的乘法
- 1.6.1 有理数乘法法则
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 任何数与0相乘，都得0。
- 1.6.2 有理数乘法运算律
- 交换律：a × b = b × a
- 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
- 1.6.3 倒数
- 乘积为1的两个数互为倒数。
- a的倒数为 1/a （a≠0）
1.7 有理数的除法
- 1.7.1 有理数除法法则
- 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
- a ÷ b = a × (1/b) （b≠0）
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不等于0的数，都得0。
- 1.7.2 有理数除法的应用
- 化简分数。
1.8 有理数的乘方
- 1.8.1 乘方的概念
- 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
- an：a叫做底数，n叫做指数，an叫做幂。
- 1.8.2 乘方的符号法则
- 正数的任何次幂都是正数。
- 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
- 1.8.3 科学计数法
- 将一个大于10或小于-10的数表示成 a × 10n 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n为整数。
- 1.8.4 近似数
- 定义：与实际数值很接近的数。
- 精确度：近似数与准确数之间的接近程度。
1.9 有理数的混合运算
- 1.9.1 运算顺序
- 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
- 同级运算，从左到右进行。
- 如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行。
二、整式的加减
2.1 单项式
- 2.1.1 单项式的概念
- 定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
- 系数：单项式中的数字因数。
- 次数：单项式中所有字母的指数的和。
2.2 多项式
- 2.2.1 多项式的概念
- 定义：几个单项式的和叫做多项式。
- 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
- 次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做多项式的次数。
- 常数项：多项式中不含字母的项。
2.3 整式
- 2.3.1 整式的概念
- 定义：单项式和多项式统称为整式。
2.4 同类项
- 2.4.1 同类项的概念
- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
- 常数项也是同类项。
- 2.4.2 合并同类项
- 法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
2.5 去括号与添括号
- 2.5.1 去括号法则
- 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号。
- 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都变号。
- 2.5.2 添括号法则
- 添括号后，括号前面是“+”号，括号里各项都不变号。
- 添括号后，括号前面是“-”号，括号里各项都变号。
2.6 整式的加减
- 2.6.1 整式加减的步骤
- 去括号。
- 合并同类项。
三、一元一次方程
3.1 方程的概念
- 3.1.1 方程的定义
- 含有未知数的等式叫做方程。
- 3.1.2 方程的解
- 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
3.2 一元一次方程
- 3.2.1 一元一次方程的定义
- 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程。
- 3.2.2 等式的性质
- 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
- 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
3.3 解一元一次方程
- 3.3.1 解方程的一般步骤
- 去分母（方程两边同乘以所有分母的最小公倍数）。
- 去括号。
- 移项（把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边）。
- 合并同类项。
- 系数化为1（方程两边同除以未知数的系数）。
- 3.3.2 特殊情况
- 方程无解的情况：化简后，出现a=b (a≠b) 的情况。
- 方程有无数个解的情况：化简后，出现0=0 的情况。
3.4 应用一元一次方程解决实际问题
- 3.4.1 解应用题的步骤
- 审题：理解题意，明确已知量和未知量，以及它们之间的关系。
- 设未知数：用字母表示未知数（一般是求什么设什么）。
- 列方程：根据等量关系列出方程。
- 解方程：求出未知数的值。
- 检验：检验方程的解是否符合题意。
- 答：写出答案。
- 3.4.2 常见应用题类型
- 行程问题：路程 = 速度 × 时间
- 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间
- 分配问题：注意总数不变。
- 销售问题：利润 = 售价 - 成本，利润率 = 利润 / 成本 × 100%
- 数字问题：十位上的数 × 10 + 个位上的数
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