《数学思维导图初二上册》

一、整式的乘除与因式分解

1.1 幂的运算性质

1.1.1 同底数幂的乘法

• 法则: a^m · aⁿ = a^m+n (m, n 都是正整数)
• 注意点: 底数相同，指数相加

1.1.2 幂的乘方

• 法则: (a^m)ⁿ = a^mn (m, n 都是正整数)
• 注意点: 底数不变，指数相乘

1.1.3 积的乘方

• 法则: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n 是正整数)
• 注意点: 把积的每一个因式分别乘方

1.1.4 同底数幂的除法

• 法则: a^m ÷ aⁿ = a^m-n (a≠0, m, n 都是正整数，且 m > n)
• 零指数幂: a⁰ = 1 (a≠0)
• 负指数幂: a^-p = 1/a^p (a≠0, p 是正整数)
• 注意点: 底数相同，指数相减；除数不能为0

1.2 整式的乘法

1.2.1 单项式乘以单项式

• 法则: 系数相乘，相同字母的幂相乘，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式。

1.2.2 单项式乘以多项式

• 法则: m(a+b+c) = ma + mb + mc
• 注意点: 将单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加

1.2.3 多项式乘以多项式

• 法则: (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
• 注意点: 将第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，再把所得的积相加，不要漏项

1.3 乘法公式

1.3.1 平方差公式

• 公式: (a + b)(a - b) = a² - b²
• 结构特征: 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
• 应用: 简便计算，化简求值

1.3.2 完全平方公式

• 公式: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a - b)² = a² - 2ab + b²
• 结构特征: 两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。
• 应用: 简便计算，化简求值，配方法

1.4 整式的除法

1.4.1 单项式除以单项式

• 法则: 系数相除，同底数幂相除，只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式。

1.4.2 多项式除以单项式

• 法则: (am + bm + cm) ÷ m = a + b + c
• 注意点: 把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加

1.5 因式分解

1.5.1 定义

• 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。

1.5.2 方法

1.5.2.1 提公因式法

• 步骤: 找出公因式，提取公因式，把多项式化为两个因式的积。
• 注意点: 公因式要提尽，注意符号

1.5.2.2 公式法

• 运用平方差公式: a² - b² = (a + b)(a - b)
• 运用完全平方公式: a² + 2ab + b² = (a + b)²; a² - 2ab + b² = (a - b)²

1.5.2.3 十字相乘法 (补充，部分地区初二不涉及)

1.5.3 步骤总结

• 先提公因式，再用公式法，分解到不能再分解为止

二、三角形

2.1 与三角形有关的线段

2.1.1 三角形的定义

• 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形

2.1.2 三角形的分类

• 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
• 按边分：不等边三角形、等腰三角形 (包括等边三角形)

2.1.3 三角形的三边关系

• 三角形任意两边之和大于第三边
• 三角形任意两边之差小于第三边

2.1.4 三角形的重要线段

2.1.4.1 高

• 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

2.1.4.2 中线

• 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

2.1.4.3 角平分线

• 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

2.2 与三角形有关的角

2.2.1 三角形的内角和定理

• 三角形的内角和等于180°

2.2.2 三角形的外角

• 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

2.2.3 三角形的外角性质

• 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
• 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

2.3 多边形及其内角和

2.3.1 多边形的定义

• 在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

2.3.2 正多边形

• 各边都相等，各角也都相等的多边形叫做正多边形。

2.3.3 多边形的内角和公式

• n边形的内角和等于(n-2) · 180°

2.3.4 多边形的外角和

• 多边形的外角和等于360° (与边数无关)

三、轴对称

3.1 轴对称图形

3.1.1 定义

• 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

3.1.2 常见的轴对称图形

• 线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形、圆等

3.2 轴对称的性质

3.2.1 定义

• 如果两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形叫做关于这条直线对称。

3.2.2 性质

• 关于某条直线对称的两个图形是全等图形
• 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
• 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线

3.3 等腰三角形

3.3.1 定义

• 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

3.3.2 性质

• 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
• 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）

3.3.3 判定

• 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

3.4 等边三角形

3.4.1 定义

• 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

3.4.2 性质

• 等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°

3.4.3 判定

• 三个角都相等的三角形是等边三角形
• 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

3.5 线段的垂直平分线

3.5.1 定义

• 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

3.5.2 性质

• 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

3.5.3 判定

• 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

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