《初二下数学思维导图》

一、代数

1. 因式分解

1.1 定义

• 把一个多项式化成几个整式的积的形式。
• 因式分解是恒等变形。

1.2 方法

• 1.2.1 提公因式法

  • 确定公因式：系数、字母、指数
  • 提取公因式
  • 例：ax + ay = a(x + y)

• 1.2.2 公式法

  • 平方差公式： a² - b² = (a + b)(a - b)
  • 完全平方公式： a² + 2ab + b² = (a + b)² a² - 2ab + b² = (a - b)²
  • 立方和公式：a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
  • 立方差公式：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

• 1.2.3 十字相乘法

  • 适用于形如ax² + bx + c的二次三项式
  • 分解常数项c为两个数的乘积，验证是否满足一次项系数b

• 1.2.4 分组分解法

  • 将多项式适当分组
  • 分别进行因式分解
  • 提取公因式，再次进行因式分解

• 1.2.5 拆项、补项法

  • 将多项式的某一项拆成两项或多项
  • 在多项式中添加一项，再减去同一项
  • 目的是便于分组分解或运用公式法

1.3 注意事项

• 分解要彻底，分解到不能再分解为止。
• 先提取公因式，再考虑公式法。
• 注意符号。
• 因式分解与整式乘法是互逆运算。

2. 分式

2.1 定义

• 形如A/B的式子，其中A、B是整式，且B中含有字母。
• B≠0，分式才有意义。

2.2 基本性质

• A/B = (A*M)/(B*M) (M≠0)
• A/B = (A/M)/(B/M) (M≠0)
• 分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。

2.3 运算

• 2.3.1 分式的乘除

  • 乘法：A/B * C/D = (A*C)/(B*D)
  • 除法：A/B ÷ C/D = (A/B) * (D/C) = (A*D)/(B*C) (C≠0)

• 2.3.2 分式的加减

  • 同分母加减：A/C ± B/C = (A ± B)/C
  • 异分母加减：先通分，转化为同分母加减

• 2.3.3 混合运算

  • 先乘除，后加减，有括号先算括号里的。
  • 注意运算顺序。

2.4 分式方程

• 2.4.1 定义

  • 分母中含有未知数的方程。

• 2.4.2 解法

  • 去分母，化为整式方程。
  • 解整式方程。
  • 检验：将解代入最简公分母，看是否为零，为零则是增根，舍去。

• 2.4.3 应用

  • 行程问题
  • 工程问题
  • 顺水逆水问题

2.5 注意事项

• 分式运算结果要化简，约分到最简形式。
• 解分式方程一定要检验。

二、几何

1. 三角形

1.1 全等三角形

• 1.1.1 定义

  • 能够完全重合的两个三角形。

• 1.1.2 性质

  • 对应边相等，对应角相等。

• 1.1.3 判定

  • SSS (边边边)
  • SAS (边角边)
  • ASA (角边角)
  • AAS (角角边)
  • HL (斜边、直角边，仅适用于直角三角形)

• 1.1.4 角平分线的性质与判定

  • 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
  • 判定：到角的两边距离相等的点在该角的平分线上。

• 1.1.5 线段的垂直平分线的性质与判定

  • 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
  • 判定：到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上。

1.2 等腰三角形

• 1.2.1 定义

  • 有两条边相等的三角形。

• 1.2.2 性质

  • 两底角相等 (等边对等角)
  • 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (三线合一)

• 1.2.3 判定

  • 两角相等 (等角对等边)

1.3 等边三角形

• 1.3.1 定义

  • 三条边都相等的三角形。

• 1.3.2 性质

  • 三个角都相等，且都等于60°。
  • 是特殊的等腰三角形。

• 1.3.3 判定

  • 三个角都相等的三角形。
  • 有一个角是60°的等腰三角形。

1.4 直角三角形

• 1.4.1 勾股定理

  • a² + b² = c² (a、b是直角边，c是斜边)

• 1.4.2 勾股定理的逆定理

  • 如果三角形三边满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形。

• 1.4.3 含30°角的直角三角形的性质

  • 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

2. 四边形

2.1 平行四边形

• 2.1.1 定义

  • 两组对边分别平行的四边形。

• 2.1.2 性质

  • 对边平行且相等。
  • 对角相等。
  • 邻角互补。
  • 对角线互相平分。

• 2.1.3 判定

  • 两组对边分别平行的四边形。
  • 两组对边分别相等的四边形。
  • 一组对边平行且相等的四边形。
  • 两组对角分别相等的四边形。
  • 对角线互相平分的四边形。

2.2 矩形

• 2.2.1 定义

  • 有一个角是直角的平行四边形。

• 2.2.2 性质

  • 具有平行四边形的所有性质。
  • 四个角都是直角。
  • 对角线相等。

• 2.2.3 判定

  • 有一个角是直角的平行四边形。
  • 对角线相等的平行四边形。
  • 有三个角是直角的四边形。

2.3 菱形

• 2.3.1 定义

  • 有一组邻边相等的平行四边形。

• 2.3.2 性质

  • 具有平行四边形的所有性质。
  • 四条边都相等。
  • 对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。

• 2.3.3 判定

  • 有一组邻边相等的平行四边形。
  • 对角线互相垂直的平行四边形。
  • 四条边都相等的四边形。

2.4 正方形

• 2.4.1 定义

  • 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 (既是矩形又是菱形)

• 2.4.2 性质

  • 具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质。
  • 四条边都相等，四个角都是直角。
  • 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

• 2.4.3 判定

  • 有一个角是直角的菱形。
  • 有一组邻边相等的矩形。

2.5 梯形

• 2.5.1 定义

  • 只有一组对边平行的四边形。

• 2.5.2 等腰梯形

  • 定义：两腰相等的梯形。
  • 性质：同一底上的两个角相等。
  • 判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

• 2.5.3 直角梯形

  • 定义：有一个角是直角的梯形。

三、数据分析

1. 数据的代表

1.1 平均数

• 1.1.1 算术平均数

  • x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n

• 1.1.2 加权平均数

  • x̄ = (w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wₙxₙ)/(w₁ + w₂ + ... + wₙ) (w₁, w₂, ..., wₙ 是权重)

1.2 中位数

• 将数据按大小顺序排列，位于中间位置的数。
• 数据个数为奇数，中位数是中间的数。
• 数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。

1.3 众数

• 一组数据中出现次数最多的数。

1.4 注意事项

• 平均数容易受到极端值的影响。
• 中位数不受极端值的影响。
• 众数反映的是数据的集中程度。

2. 数据的波动

2.1 方差

• 反映一组数据离散程度的量。
• s² = [(x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + ... + (xₙ - x̄)²]/n

2.2 标准差

• 方差的算术平方根。
• s = √s²

2.3 注意事项

• 方差和标准差越大，数据的波动越大，越不稳定。
• 方差和标准差越小，数据的波动越小，越稳定。

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