《必修二数学思维导图》
一、空间几何初步
1.1 空间几何体
1.1.1 几何体的分类
- 多面体：
- 棱柱
- 直棱柱
- 正棱柱
- 棱锥
- 正棱锥
- 棱台
- 正棱台
- 棱柱
- 旋转体：
- 圆柱
- 圆锥
- 圆台
- 球
1.1.2 几何体的直观图
- 斜二测画法：
- 轴的选择与摆放
- 平行线的画法
- 长度的变化
1.1.3 几何体的表面积与体积
-
表面积公式：
- 棱柱：底面积 + 侧面积
- 棱锥：底面积 + 侧面积
- 棱台：上底面积 + 下底面积 + 侧面积
- 圆柱：2πr² + 2πrh
- 圆锥：πr² + πrl
- 圆台：π(r₁² + r₂²) + π(r₁ + r₂)l
- 球：4πR²
-
体积公式：
- 柱体：V = Sh
- 锥体：V = (1/3)Sh
- 台体：V = (1/3)h(S₁ + S₂ + √(S₁S₂))
- 球：V = (4/3)πR³
1.2 点、直线、平面之间的位置关系
1.2.1 平面及其基本性质
- 公理 1： 不共线的三点确定一个平面
- 公理 2： 直线上两点在平面内，则该直线在平面内
- 公理 3： 两平面相交，交线过交点
- 公理 4： 平行于同一直线的两直线平行
1.2.2 空间中直线与直线的位置关系
- 相交直线
- 平行直线
-
异面直线： 不同在任何一个平面内的两条直线
- 异面直线判定定理：如果一条直线上的两点在另一条直线的同侧，那么这两条直线是异面直线。
1.2.3 空间中直线与平面的位置关系
- 直线在平面内
- 直线与平面相交
-
直线与平面平行： 直线与平面没有公共点
- 线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
- 线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
1.2.4 空间中平面与平面的位置关系
- 两平面相交
-
两平面平行： 两平面没有公共点
- 面面平行判定定理：一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。
- 面面平行性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。
1.2.5 空间角的计算
- 异面直线所成的角
- 直线与平面所成的角
- 二面角
1.3 直线、平面垂直的判定与性质
1.3.1 直线与平面垂直
- 线面垂直判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与此平面垂直。
- 线面垂直性质定理： 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。
1.3.2 平面与平面垂直
- 面面垂直判定定理： 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
- 面面垂直性质定理： 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
二、直线与方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
- 倾斜角： 直线向上方向与 x 轴正方向所成的最小正角。
-
斜率： k = tanα (α ≠ 90°)
- 过两点的斜率公式：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
2.2 直线的方程
- 点斜式： y - y₀ = k(x - x₀)
- 斜截式： y = kx + b
- 两点式： (y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁)
- 截距式： x/a + y/b = 1
- 一般式： Ax + By + C = 0
2.3 直线的交点坐标与距离公式
- 两直线平行：
- l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0, l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0
- A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂
- k₁ = k₂ , b₁ ≠ b₂
- 两直线垂直：
- l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0, l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0
- A₁A₂ + B₁B₂ = 0
- k₁k₂ = -1
- 点到直线的距离： d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
- 两平行线之间的距离： d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²) (A, B系数相同)
三、圆与方程
3.1 圆的方程
- 标准方程： (x - a)² + (y - b)² = r²，圆心(a, b)，半径 r
- 一般方程： x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² - 4F > 0)，圆心(-D/2, -E/2)，半径r = √(D²/4 + E²/4 - F)
3.2 直线与圆的位置关系
- 几何法： 比较圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小
- d < r：相交
- d = r：相切
- d > r：相离
- 代数法： 联立直线方程与圆的方程，判断判别式 Δ 的符号
- Δ > 0：相交
- Δ = 0：相切
- Δ < 0：相离
3.3 圆与圆的位置关系
- 比较圆心距 d 与半径之和 r₁ + r₂ 和半径之差 |r₁ - r₂| 的大小
- d > r₁ + r₂：外离
- d = r₁ + r₂：外切
- |r₁ - r₂| < d < r₁ + r₂：相交
- d = |r₁ - r₂|：内切
- d < |r₁ - r₂|：内含