《初二函数思维导图》
一、 函数的概念与表示
1.1 函数的定义
- 定义: 在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，y是因变量。
- 关键点:
- 两个变量
- x的每一个值
- y有唯一确定的值
- 对应关系
1.2 函数的表示方法
- 解析式法（公式法）: 用数学表达式来表示函数关系。
- 优点：明确函数关系，方便计算函数值。
- 缺点：并非所有函数关系都能用解析式表示。
- 示例： y = 2x + 1
- 图像法: 用坐标系中的图形来表示函数关系。
- 优点：直观、形象，可以观察函数的变化趋势。
- 缺点：不够精确，只能大致表示函数关系。
- 例如：一次函数图像、反比例函数图像等。
- 列表法: 用表格的形式列出一些自变量与函数值的对应关系。
- 优点：简单明了，可以直接查阅函数值。
- 缺点：只能表示部分函数值，不能完整描述函数关系。
- 例如：记录气温随时间变化的数据表格。
1.3 函数的自变量取值范围
- 考虑因素:
- 分母不为零
- 偶次根式下为非负数
- 实际问题中有意义
- 表示方法:
- 不等式
- 区间
1.4 函数值的计算
- 代入法: 将自变量的值代入函数解析式，计算对应的函数值。
- 图像法: 在函数图像上找到对应自变量的点，读取其纵坐标值。
- 列表法: 直接从表格中查阅对应的函数值。
二、 一次函数
2.1 一次函数的定义与性质
- 定义: 形如 y = kx + b (k≠0) 的函数叫做一次函数，其中k是斜率，b是截距。
- 图像: 一条直线
- 性质:
- k > 0 时，y随x增大而增大，图像呈上升趋势。
- k < 0 时，y随x增大而减小，图像呈下降趋势。
- b是直线与y轴的交点坐标(0, b)。
- k的绝对值越大，直线越陡峭。
2.2 正比例函数
- 定义: 形如 y = kx (k≠0) 的函数叫做正比例函数，是一次函数的特殊形式 (b = 0)。
- 图像: 一条经过原点的直线
- 性质:
- k > 0 时，y随x增大而增大，图像位于第一、三象限。
- k < 0 时，y随x增大而减小，图像位于第二、四象限。
2.3 一次函数的图像与性质的应用
- 求解析式:
- 已知两点坐标，利用待定系数法。
- 已知一点坐标和斜率，利用点斜式或斜截式。
- 解方程/不等式: 将方程/不等式转化为函数问题，通过图像求解。
- 实际应用: 建立一次函数模型，解决实际问题。
- 例如：行程问题、利润问题、水费问题等。
2.4 两直线的位置关系
- 平行: k1 = k2, b1 ≠ b2 (斜率相等，截距不等)
- 相交: k1 ≠ k2 (斜率不相等)
- 重合: k1 = k2, b1 = b2 (斜率相等，截距相等)
- 垂直: k1 * k2 = -1 (斜率之积为-1)
三、 一次函数与二元一次方程(组)的关系
3.1 二元一次方程(组)的几何意义
- 二元一次方程: 可以看作是直线方程，即一次函数。
- 二元一次方程组: 两个直线方程组成的方程组。
3.2 二元一次方程组的解与直线交点的关系
- 解的个数:
- 唯一解：两直线相交，交点坐标即为解。
- 无穷解：两直线重合，方程组有无数个解。
- 无解：两直线平行，方程组无解。
- 图形表示:
- 将方程组中的两个方程转化为一次函数的形式，画出图像。
- 观察两直线的交点情况，确定方程组的解。
3.3 利用函数图像解二元一次方程组
- 步骤:
- 将方程组中的方程转化为一次函数的形式。
- 在同一坐标系中画出两个函数的图像。
- 观察图像，找出两直线的交点坐标。
- 交点坐标即为方程组的解。
四、 函数的应用
4.1 利用函数解决实际问题
- 建模: 将实际问题转化为数学模型（函数关系）。
- 分析: 分析函数的性质，找出关键信息。
- 求解: 利用函数知识解决问题，例如求最大值、最小值等。
- 验证: 验证结果的合理性。
4.2 常见的应用类型
- 行程问题: 速度、时间、路程之间的关系。
- 利润问题: 成本、售价、利润之间的关系。
- 增长率问题: 增长量、基数、增长率之间的关系。
- 工程问题: 工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。
- 方案选择问题: 比较不同方案的成本或收益，选择最优方案。