《数学思维导图五年级下》

一、 数与代数

1. 分数的意义和性质

1.1 分数的意义

• 定义： 将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
• 分数单位： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。
• 分数墙： 直观展示不同分母分数的大小关系。
• 真分数： 分子小于分母的分数，真分数小于1。
• 假分数： 分子大于或等于分母的分数，假分数大于或等于1。
• 带分数： 整数和真分数合成的数。
• 假分数与带分数的互化：
  • 假分数化带分数： 分子 ÷ 分母 = 整数…余数， 带分数 = 整数 余数/分母。
  • 带分数化假分数： (整数 × 分母 + 分子) / 分母。

1.2 分数的基本性质

• 内容： 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
• 应用：
  • 化简分数： 将分数化为最简分数。
  • 通分： 将几个分母不同的分数化为分母相同的分数。

1.3 最大公因数和最小公倍数

• 公因数： 几个数公有的因数。
• 最大公因数： 几个数公有的因数中最大的一个。
• 公倍数： 几个数公有的倍数。
• 最小公倍数： 几个数公有的倍数中最小的一个。
• 互质数： 公因数只有1的两个数，叫做互质数。
• 求最大公因数的方法：
  • 列举法： 依次列出各数的因数，找出公因数，再找出最大公因数。
  • 分解质因数法： 将各数分解质因数，找出相同的质因数，它们的乘积就是最大公因数。
  • 短除法： 用各数公有的质因数去除，直到所得的商都是互质数为止，所有除数的乘积就是最大公因数。
• 求最小公倍数的方法：
  • 列举法： 依次列出各数的倍数，找出公倍数，再找出最小公倍数。
  • 分解质因数法： 将各数分解质因数，找出各数包含的所有质因数，相同质因数取指数最高的，它们的乘积就是最小公倍数。
  • 短除法： 用各数公有的质因数去除，直到所得的商都是互质数为止，所有除数和商的乘积就是最小公倍数。

1.4 分数的大小比较

• 同分母分数比较大小： 分子大的分数大。
• 同分子分数比较大小： 分母小的分数大。
• 异分母分数比较大小： 先通分，化成同分母分数，再比较大小。

1.5 分数与小数的互化

• 小数化分数： 看有几位小数，就在1后面添几个0做分母，把小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
• 分数化小数： 用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。

2. 分数的加法和减法

2.1 同分母分数加、减法

• 法则： 同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。

2.2 异分母分数加、减法

• 法则： 异分母分数相加减，先通分，化成同分母分数，再按同分母分数加减法的法则进行计算。

2.3 分数加减混合运算

• 运算顺序： 与整数加减混合运算的顺序相同，有括号的先算括号里面的，没有括号的，按从左到右的顺序依次计算。
• 简便计算： 运用加法的运算定律进行简便计算。

二、 空间与图形

1. 图形的运动（三）

1.1 轴对称图形

• 定义： 如果一个图形沿一条直线对折后，两部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
• 常见的轴对称图形： 线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、圆等。

1.2 图形的旋转

• 定义： 在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。
• 旋转的三要素： 旋转中心、旋转方向、旋转角度。

1.3 图案设计

• 利用平移、旋转、轴对称设计图案。

2. 长方体和正方体

2.1 长方体的认识

• 特征： 有6个面，一般都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。
• 长： 较长的棱。
• 宽： 较短的棱。
• 高： 垂直于长方形底面的棱。

2.2 正方体的认识

• 特征： 有6个完全相同的正方形，有12条长度相等的棱，有8个顶点。
• 正方体是特殊的长方体。

2.3 长方体和正方体的表面积

• 表面积： 长方体或正方体6个面的面积总和，叫做它的表面积。
• 长方体的表面积公式： S = 2(ab + ah + bh)
• 正方体的表面积公式： S = 6a²

2.4 长方体和正方体的体积

• 体积： 物体所占空间的大小叫做物体的体积。
• 体积单位： 立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）。
• 容积单位： 升（L）、毫升（mL）。
• 体积单位间的进率： 1 m³ = 1000 dm³， 1 dm³ = 1000 cm³。
• 容积单位间的进率： 1 L = 1000 mL， 1 L = 1 dm³， 1 mL = 1 cm³。
• 长方体的体积公式： V = abh
• 正方体的体积公式： V = a³
• 通用体积公式： V = Sh (S是底面积，h是高)

2.5 体积单位的换算

• 掌握体积单位之间的进率，灵活运用。

三、 统计与概率

1. 复式折线统计图

• 作用： 能清楚地表示出数量增减变化的趋势，也能方便地比较两组数据的差异。
• 绘制步骤：
  • 确定横轴和纵轴，并标出单位长度。
  • 根据数据在图上描点。
  • 用直线顺次连接各点。
  • 注明图例和标题。
• 分析： 能够根据复式折线统计图，分析数据的变化趋势，进行预测。

四、 数学广角

1. 简单的统计

• 了解并运用抽样调查，理解抽样调查的优势。
• 根据统计结果做出合理的预测。

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