《六年上册数学思维导图》

一、数与代数

1. 分数乘法

1.1 分数乘整数

• 定义： 求几个相同分数的和的简便运算。
• 计算方法： 分子和整数相乘的积作分子，分母不变。能约分的要先约分，再计算。
• 意义： 例如，3/4 × 5 表示 5 个 3/4 相加的和。
• 扩展应用： 可以转化为整数乘法，理解倍数关系。

1.2 分数乘分数

• 定义： 一个数乘分数的意义与整数乘法相同，都是求这个数的几分之几是多少。
• 计算方法： 分子和分子相乘的积作分子，分母和分母相乘的积作分母。能约分的要先约分，再计算。
• 意义： 例如，1/2 × 3/4 表示 1/2 的 3/4 是多少。
• 易错点： 容易忘记先约分，导致计算量增大。

1.3 倒数的认识

• 定义： 乘积是1的两个数互为倒数。
• 求一个数的倒数：
  • 求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置。
  • 求整数的倒数：把整数看作分母是1的分数，再交换分子、分母的位置。
  • 1的倒数是1，0没有倒数。
• 意义： 倒数是两个数之间的关系，不能单独存在。
• 重要性： 分数除法的基础。

1.4 分数乘法的应用

• 应用题类型：
  • 求一个数的几分之几是多少。
  • 比较量与标准量关系。
• 解题步骤：
  • 找准单位“1”。
  • 分析数量关系。
  • 列式计算。
• 关键点： 理清谁是单位“1”，谁是被比较量。

2. 分数除法

2.1 分数除以整数

• 定义： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 计算方法： 除以一个整数（0除外），等于乘这个整数的倒数。
• 意义： 将总数平均分成若干份，求每份是多少。

2.2 整数除以分数

• 计算方法： 整数除以分数，等于乘这个分数的倒数。

2.3 分数除以分数

• 计算方法： 分数除以分数，等于乘除数的倒数。
• 理解： 相当于用分数乘法的逆运算解决问题。

2.4 比的意义和性质

• 比的意义： 两个数相除又叫做两个数的比。
• 比的各部分名称： 前项 : 后项 = 比值。
• 比的基本性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
• 化简比：
  • 整数比：前后项同时除以它们的最大公因数。
  • 分数比：前后项同时乘它们分母的最小公倍数，化为整数比，再化简。
  • 小数比：前后项同时扩大相同的倍数，化为整数比，再化简。
• 比的应用：
  • 按比例分配：将一个数量按照一定的比进行分配。
• 与除法、分数的关系： 比的前项相当于被除数、分子，后项相当于除数、分母，比值相当于商、分数值。

2.5 分数除法的应用

• 应用题类型：
  • 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
  • 求一个数是另一个数的几分之几。
• 解题步骤：
  • 找准单位“1”。
  • 分析数量关系。
  • 列方程或用除法计算。
• 关键点： 判断谁是单位“1”，并用线段图辅助分析。

3. 百分数

3.1 百分数的意义

• 定义： 表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫做百分率或百分比。
• 与分数的区别：
  • 百分数只表示两个数之间的倍数关系，不表示具体的数量。
  • 分数既可以表示具体的数量，也可以表示两个数之间的倍数关系。
• 表示方法： 用 % 表示。
• 优点： 易于比较，便于理解。

3.2 百分数与小数、分数的互化

• 百分数化小数： 去掉百分号，小数点向左移动两位。
• 小数化百分数： 小数点向右移动两位，添上百分号。
• 百分数化分数： 先把百分数改写成分母是100的分数，再化简。
• 分数化百分数： 先把分数化成小数，再化成百分数；或者先把分数化成分母是100的分数，再改写成百分数。

3.3 百分数的应用

• 求一个数是另一个数的百分之几： 用除法计算。
• 求一个数比另一个数多（少）百分之几： 先求多（少）多少，再求多（少）的量占单位“1”的百分之几。
• 折扣、成数、税率、利率的计算： 都是百分数的应用。
• 常见的百分率： 出勤率、合格率、发芽率等。

二、空间与图形

1. 位置与方向（二）

• 方向的描述： 东偏北、东偏南、西偏北、西偏南。
• 距离的确定： 比例尺的使用。
• 绘制路线图： 确定起点，按顺序标出方向和距离。

2. 圆

2.1 圆的认识

• 圆心： 圆中心一点，用字母O表示。
• 半径： 连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示。
• 直径： 通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母d表示。
• 圆的特征：
  • 圆有无数条半径和直径。
  • 同一圆内，所有半径都相等，所有直径都相等。
  • 同一圆内，直径是半径的2倍，d = 2r。
• 圆的画法： 用圆规画圆。

2.2 圆的周长

• 周长的定义： 围成圆的曲线的长度。
• 圆周率： 圆的周长与直径的比值，是一个固定值，用字母π表示，π≈3.14。
• 周长公式： C = πd = 2πr。

2.3 圆的面积

• 面积的定义： 圆所占平面的大小。
• 面积公式： S = πr²。
• 面积公式推导： 将圆分割成若干等份，拼成一个近似平行四边形或长方形，推导出面积公式。

2.4 圆环的面积

• 定义： 两个半径不同的同心圆之间的部分。
• 面积公式： S = π(R² - r²) ，其中 R 是大圆半径，r 是小圆半径。

2.5 扇形

• 定义： 由圆心角和圆心角所对的弧围成的图形。
• 弧： 圆上任意两点之间的部分。
• 圆心角： 顶点在圆心的角。
• 扇形的面积： 扇形面积 = (圆心角/360) × πr²

三、统计与概率

1. 扇形统计图

• 特点： 可以清楚地表示各部分数量与总数之间的关系。
• 制作方法：
  • 计算各部分数量占总数的百分比。
  • 计算各部分数量对应的扇形圆心角的度数。
  • 画出圆，按圆心角的度数画出各扇形，并标明名称和百分比。
• 优点： 直观反映各部分在总体中所占比例。
• 缺点： 不易看出具体数值。

四、数学广角——鸡兔同笼

• 解题方法：
  • 假设法： 假设全是鸡或全是兔，算出总脚数与实际脚数的差，再算出兔或鸡的只数。
  • 方程法： 设鸡或兔的只数为x，根据题意列方程求解。
• 关键点： 理解题意，抓住数量关系，选择合适的解题方法。

五、总复习

• 系统梳理： 对所学知识进行全面复习和整理，形成知识网络。
• 查漏补缺： 找出薄弱环节，加强练习，巩固掌握。
• 综合应用： 运用所学知识解决实际问题，提高解题能力。
• 解题技巧： 总结常用解题方法和技巧，提高解题效率。

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