《思维导图4年级上册数学》

一、 大数的认识

1. 数的产生与发展

• 无 → 结绳计数 → 符号计数 → 数字
  • 发展过程: 经历了一个漫长的时间，逐渐抽象概括。

2. 亿以内数的认识

• 数位顺序表:
  • 数级: 个级、万级、亿级...
  • 数位: 个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿...
  • 计数单位: 一、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿...
    • 读法:
  • 从高位读起，一级一级往下读。
  • 万级的数，先按照个级的读法读，再在后面加上“万”字。
  • 每级末尾的 0 都不读，其他数位连续几个 0，只读一个零。
    • 写法:
  • 从高位写起，一级一级往下写。
  • 哪个数位上一个单位也没有，就用 0 占位。
    • 大小比较:
  • 位数不同，位数多的数就大。
  • 位数相同，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一位，依此类推。
    • 数的改写:
  • 改写成以“万”为单位的数: 把万位后面的四个 0 去掉，并加上“万”字。 注意是约等于还是等于。
  • 用“四舍五入”法求近似数: 看省略的尾数的最高位，如果是 4 或比 4 小，就把尾数都舍去；如果是 5 或比 5 大，要在保留的末位上加 1，再把尾数都舍去。

3. 亿以上数的认识

• 数位顺序表扩展:
  • 十亿、百亿、千亿...
    • 读法和写法: 类似于亿以内数的读法和写法。
    • 数的改写:
  • 改写成以“亿”为单位的数: 把亿位后面的八个 0 去掉，并加上“亿”字。注意约等于和等于。
  • 用“四舍五入”法求近似数: 与亿以内近似数的求法相同。
    • 计算器:
  • 认识计算器上的各个按键的功能。
  • 学会使用计算器进行大数的加减乘除运算。

二、 角的度量

1. 线与角

• 直线、射线、线段的区别:
  • 直线: 没有端点，可以向两端无限延伸。
  • 射线: 只有一个端点，可以向一端无限延伸。
  • 线段: 有两个端点，不能延伸。
    • 角的定义: 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
    • 角的组成: 顶点、边。
    • 角的表示方法: ∠1，∠ABC，∠α。

2. 角的度量

• 角的单位: 度 (°)
  • 量角器的认识: 中心点，0 刻度线，内外圈刻度。
  • 量角的方法:
    • 把量角器的中心点与角的顶点重合，0 刻度线与角的一条边重合。
    • 看角的另一条边所对的刻度，就是这个角的度数。
  • 角的分类:
    • 锐角: 小于 90° 的角。
    • 直角: 等于 90° 的角。
    • 钝角: 大于 90° 且小于 180° 的角。
    • 平角: 等于 180° 的角。
    • 周角: 等于 360° 的角。
  • 角的度量关系: 1周角 = 2平角 = 4直角

3. 画角

• 画角的步骤:
  • 画一条射线，使它的端点与量角器的中心点重合，0 刻度线与射线重合。
  • 在量角器所要画的角的度数的地方点一个点。
  • 以射线的端点为端点，通过刚才所画的点，再画一条射线。

三、 三位数乘两位数

1. 口算乘法

• 整十、整百数乘一位数: 先把 0 前面的数相乘，再在积的末尾添上相应个数的 0。

2. 笔算乘法

• 三位数乘两位数的计算方法:
  • 先用两位数的个位上的数去乘三位数，所得的积的末位和两位数的个位对齐。
  • 再用两位数的十位上的数去乘三位数，所得的积的末位和两位数的十位对齐。
  • 把两次乘得的积加起来。
    • 估算: 将两个因数都看成与它接近的整十、整百数，再进行估算。
    • 因数中间或末尾有 0 的乘法:
  • 中间有 0 的，0 也要乘。
  • 末尾有 0 的，先不看 0，算完之后再在积的末尾添上相应个数的 0。

3. 常见的数量关系

• 速度 × 时间 = 路程
  • 单价 × 数量 = 总价
  • 工作效率 × 工作时间 = 工作总量

4. 乘法运算定律的应用

• 乘法交换律: a × b = b × a
  • 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法分配律: (a + b) × c = a × c + b × c
    • 简便计算: 灵活运用运算定律进行简便计算。

四、 平行四边形和梯形

1. 平行与垂直

• 平行线的定义: 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
  • 垂直的定义: 两条直线相交成直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
  • 点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。

2. 平行四边形

• 平行四边形的定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
  • 平行四边形的特点:
    • 两组对边分别平行且相等。
    • 对角相等。
  • 平行四边形容易变形的特性: 应用：伸缩门，活动衣架等。
  • 平行四边形的高: 从平行四边形一条边上的任意一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。

3. 梯形

• 梯形的定义: 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
  • 梯形的各部分名称:
    • 上底、下底: 平行的两边。
    • 腰: 不平行的两边。
    • 高: 上底和下底之间的距离。
  • 梯形的分类:
    • 等腰梯形: 两腰相等的梯形。
    • 直角梯形: 有一个角是直角的梯形。

4. 平行四边形和梯形的关系

• 正方形和长方形是特殊的平行四边形。

五、 除数是两位数的除法

1. 口算除法

• 整十数除整十、整百数: 先不看被除数和除数末尾的 0，再进行计算，最后在商的末尾添上相应个数的 0。

2. 笔算除法

• 除数是两位数的除法:
  • 从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位，如果前两位比除数小，就试除前三位。
  • 除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面。
  • 每次除得的余数必须比除数小。
    • 试商:
  • “四舍五入”法试商: 把除数看作与它接近的整十数来试商。
  • 同头无除法试商: 除数和被除数的前一位数字相同，而且被除数的前两位小于除数，就把除数看作和它接近的几十五或几十来试商。
    • 商的变化规律:
  • 被除数不变，除数扩大（或缩小）几倍，商反而缩小（或扩大）几倍。
  • 除数不变，被除数扩大（或缩小）几倍，商也扩大（或缩小）几倍。
  • 被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。

3. 简单的线路图

• 确定方向: 上北下南，左西右东。
  • 描述路线: 用文字和方向标相结合的方式，描述简单的行走路线。

六、 统计

1. 条形统计图

• 复式条形统计图:
  • 用不同的颜色或线条表示不同的数据。
  • 便于比较两组或多组数据的差异。
    • 制作条形统计图的步骤:
  • 确定横轴和纵轴表示的内容。
  • 确定单位长度表示的数量。
  • 根据数据画出直条。
  • 标明数据。

七、 数学广角——优化

1. 烙饼问题

• 解决策略: 尽量让每次烙饼都烙两张。

2. 排队问题

• 解决策略: 尽量让每个人等待的时间最短。

3. 其他优化问题

• 合理安排时间，提高效率。

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