《思维导图七年级数学》

一、有理数

1.1 有理数的概念

• 1.1.1 正数和负数
  • 定义：大于0的数是正数，小于0的数是负数。0既不是正数也不是负数。
  • 表示：正数前面可以加“+”号，也可以省略；负数前面必须加“-”号。
  • 应用：表示具有相反意义的量（例如：收入和支出，增加和减少，上升和下降）。
• 1.1.2 有理数
  • 分类：
    • 按定义分：有理数分为整数和分数。
      • 整数：正整数、0、负整数
      • 分数：正分数、负分数
    • 按性质分：有理数分为正数、0、负数。
      • 正数：正整数、正分数
      • 负数：负整数、负分数
  • 数轴：
    • 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
    • 要素：原点、正方向、单位长度。
    • 表示：数轴上的点与有理数一一对应。
    • 比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
• 1.1.3 相反数
  • 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
  • 表示：a的相反数是-a。
  • 性质：a与-a在数轴上关于原点对称，a + (-a) = 0。
  • 应用：化简符号（例如 -(-a) = a）。
• 1.1.4 绝对值
  • 定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
  • 表示：|a|
  • 性质：
    • |a| ≥ 0
    • |a| = a (当a ≥ 0时)
    • |a| = -a (当a < 0时)
  • 几何意义：数轴上点到原点的距离。
  • 应用：比较负数大小（绝对值大的负数反而小）。

1.2 有理数的运算

• 1.2.1 有理数的加法
  • 法则：
    • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
    • 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
    • 一个数同0相加，仍得这个数。
  • 运算律：
    • 交换律：a + b = b + a
    • 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
• 1.2.2 有理数的减法
  • 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a - b = a + (-b)
• 1.2.3 有理数的乘法
  • 法则：
    • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
    • 任何数与0相乘，都得0。
  • 运算律：
    • 交换律：a × b = b × a
    • 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
    • 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
• 1.2.4 有理数的除法
  • 法则：
    • 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。即：a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
    • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
• 1.2.5 有理数的乘方
  • 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。记作 aⁿ，读作a的n次方。
  • 组成：
    • a：底数
    • n：指数
    • aⁿ：幂
  • 法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
• 1.2.6 科学计数法
  • 形式：a × 10ⁿ，其中1 ≤ |a| < 10，n为整数。
  • 应用：表示较大的数。
• 1.2.7 近似数
  • 定义：通过四舍五入得到的数。
  • 精确度：精确到哪一位，就看最后一位在哪一位。

二、整式

2.1 整式

• 2.1.1 代数式
  • 定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。
  • 单独的一个数或一个字母也是代数式。
• 2.1.2 单项式
  • 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
  • 系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
  • 次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
• 2.1.3 多项式
  • 定义：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。
  • 项：多项式中每个单项式叫做多项式的一个项。
  • 次数：多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
  • 常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。
• 2.1.4 整式
  • 定义：单项式和多项式统称为整式。
• 2.1.5 同类项
  • 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
  • 合并同类项：把同类项合并成一项叫做合并同类项。
  • 法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
• 2.1.6 去括号与添括号
  • 去括号法则：
    • 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。
    • 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。
  • 添括号法则：
    • 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号。
    • 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。

2.2 整式的加减

• 2.2.1 整式的加减运算
  • 步骤：
    • 去括号。
    • 合并同类项。
• 2.2.2 整式的加减的应用
  • 化简求值：先化简，再代入求值。

三、一元一次方程

3.1 一元一次方程

• 3.1.1 方程
  • 定义：含有未知数的等式叫做方程。
• 3.1.2 一元一次方程
  • 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程。
  • 一般形式：ax + b = 0 (a ≠ 0)
• 3.1.3 方程的解
  • 定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
• 3.1.4 等式的性质
  • 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
  • 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

3.2 解一元一次方程

• 3.2.1 移项
  • 定义：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项。
  • 注意：移项要变号。
• 3.2.2 解方程的步骤
  • 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）。
  • 去括号。
  • 移项。
  • 合并同类项。
  • 系数化为1（方程两边同除以未知数的系数）。
• 3.2.3 列方程解应用题
  • 步骤：
    • 审题。
    • 设未知数（直接设或间接设）。
    • 找等量关系。
    • 列方程。
    • 解方程。
    • 检验并写出答案。
  • 常见的等量关系：
    • 行程问题：路程 = 速度 × 时间
    • 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间
    • 销售问题：利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 / 进价 × 100%
    • 储蓄问题：本息和 = 本金 + 利息，利息 = 本金 × 利率 × 时间
    • 数字问题：例如，两位数可以表示为10a + b