数学思维导图七年级

# 《数学思维导图七年级》

## 一、有理数

### 1.1 基本概念

*   **1.1.1 正数与负数**
    *   意义：表示具有相反意义的量
    *   表示：在数字前加“+”或“-”号，零既不是正数也不是负数。
    *   应用：生活中常见的相反意义的量，例如：收入与支出、上升与下降、盈利与亏损等。
*   **1.1.2 有理数**
    *   定义：整数和分数的统称，可分为正有理数、负有理数和零。
    *   分类：
        *   按定义分类：
            *   有理数
                *   整数
                    *   正整数
                    *   零
                    *   负整数
                *   分数
                    *   正分数
                    *   负分数
        *   按正负分类：
            *   有理数
                *   正有理数
                    *   正整数
                    *   正分数
                *   零
                *   负有理数
                    *   负整数
                    *   负分数
*   **1.1.3 数轴**
    *   定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
    *   要素：原点、正方向、单位长度。
    *   作用：
        *   直观地表示数。
        *   比较数的大小。
        *   理解相反数。
        *   理解绝对值。
*   **1.1.4 相反数**
    *   定义：只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零。
    *   表示：a的相反数是-a。
    *   性质：互为相反数的两个数之和为零，即a + (-a) = 0。
*   **1.1.5 绝对值**
    *   定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
    *   性质：
        *   正数的绝对值是它本身。
        *   负数的绝对值是它的相反数。
        *   零的绝对值是零。
    *   几何意义：数轴上点到原点的距离。
    *   |a|≥0，绝对值具有非负性。

### 1.2 有理数的运算

*   **1.2.1 有理数的加法**
    *   法则：
        *   同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
        *   异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
        *   一个数同0相加，仍得这个数。
    *   运算律：
        *   交换律：a + b = b + a
        *   结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
*   **1.2.2 有理数的减法**
    *   法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b)。
*   **1.2.3 有理数的乘法**
    *   法则：
        *   两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
        *   任何数同0相乘，都得0。
    *   运算律：
        *   交换律：a × b = b × a
        *   结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
        *   分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
*   **1.2.4 有理数的除法**
    *   法则：
        *   除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a ÷ b = a × (1/b)。
        *   两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
*   **1.2.5 有理数的乘方**
    *   定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
    *   表示：a<sup>n</sup>，其中a为底数，n为指数。
    *   符号法则：
        *   正数的任何次幂都是正数。
        *   负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
        *   0的任何正整数次幂都是0。
*   **1.2.6 科学计数法**
    *   定义：把一个大于10的数表示成a × 10<sup>n</sup>的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n是正整数。
*   **1.2.7 近似数和有效数字**
    *   近似数：根据实际需要，用一个数近似地表示另一个数。
    *   精确度：近似数的精确程度，通常用“精确到…”来表示。
    *   有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止的所有数字。

## 二、代数式

### 2.1 代数式

*   **2.1.1 用字母表示数**
    *   用字母表示数的意义：把数和数量关系简明地表示出来。
    *   书写规则：
        *   字母与字母相乘，乘号可以省略不写，或者用“·”表示。
        *   数字与字母相乘，数字写在字母的前面。
        *   除法运算一般写成分数的形式。
        *   带有加减运算的式子要用括号括起来。
*   **2.1.2 代数式**
    *   定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
*   **2.1.3 代数式的值**
    *   定义：用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算所得的结果叫做代数式的值。
    *   求代数式的值：
        *   先代入，即将字母替换为数值。
        *   后计算，按照运算顺序计算。

### 2.2 整式

*   **2.2.1 单项式**
    *   定义：表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
    *   系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
    *   次数：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
*   **2.2.2 多项式**
    *   定义：几个单项式的和叫做多项式。
    *   项：多项式中的每个单项式叫做多项式的一个项。
    *   常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。
    *   次数：多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
*   **2.2.3 整式**
    *   定义：单项式和多项式统称为整式。
*   **2.2.4 同类项**
    *   定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
    *   合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
    *   合并同类项的法则：
        *   系数相加，字母和字母的指数不变。

## 三、一元一次方程

### 3.1 方程

*   **3.1.1 方程的意义**
    *   定义：含有未知数的等式叫做方程。
    *   要素：未知数、等式。
*   **3.1.2 方程的解**
    *   定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
    *   解方程：求方程解的过程叫做解方程。

### 3.2 一元一次方程

*   **3.2.1 一元一次方程的定义**
    *   定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程，叫做一元一次方程。
    *   标准形式：ax + b = 0 (a ≠ 0)
*   **3.2.2 等式的性质**
    *   性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式。
    *   性质2：等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。
*   **3.2.3 解一元一次方程**
    *   一般步骤：
        *   去分母
        *   去括号
        *   移项
        *   合并同类项
        *   系数化为1

### 3.3 一元一次方程的应用

*   **3.3.1 列方程解应用题**
    *   步骤：
        *   审题：弄清题意，找出已知条件和未知条件。
        *   设未知数：设适当的未知数（一般直接设所求的量为未知数）。
        *   列方程：根据等量关系列出方程。
        *   解方程：解所列的方程。
        *   检验：检验所求的解是否符合题意。
        *   写答案：写出完整的答案。
*   **3.3.2 常见的应用题类型**
    *   行程问题
    *   工程问题
    *   利润问题
    *   数字问题
    *   分配问题

## 四、几何图形初步

### 4.1 立体图形与平面图形

*   **4.1.1 立体图形**
    *   定义：各部分不都在同一个平面内的图形。
    *   常见立体图形：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体、棱柱、棱锥等。
*   **4.1.2 平面图形**
    *   定义：各部分都在同一个平面内的图形。
    *   常见平面图形：三角形、四边形、圆、扇形、正方形、长方形等。

### 4.2 直线、射线、线段

*   **4.2.1 直线**
    *   定义：将线段向两个方向无限延伸所形成的图形。
    *   表示：
        *   用一个小写字母表示：直线l。
        *   用直线上的两个点表示：直线AB（或直线BA）。
    *   性质：两点确定一条直线。
*   **4.2.2 射线**
    *   定义：将线段向一个方向无限延伸所形成的图形。
    *   表示：用端点和射线上的另一点表示：射线OA，端点必须写在前面。
*   **4.2.3 线段**
    *   定义：直线上两点之间的部分。
    *   表示：
        *   用一个小写字母表示：线段a。
        *   用线段的两个端点表示：线段AB（或线段BA）。
*   **4.2.4 线段的长短比较**
    *   方法：
        *   度量法：用刻度尺量出线段的长度，然后比较大小。
        *   叠合法：将两条线段的一端对齐，另一端落在同一条直线上，然后比较大小。
*   **4.2.5 线段的中点**
    *   定义：把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点。
    *   性质：线段的中点将线段分成两条相等的线段。
*   **4.2.6 两点之间的距离**
    *   定义：连接两点的线段的长度，叫做两点之间的距离。
    *   性质：两点之间，线段最短。

### 4.3 角

*   **4.3.1 角的定义**
    *   定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
    *   表示：
        *   用三个大写字母表示：∠AOB，顶点必须写在中间。
        *   用一个大写字母表示：当顶点处只有一个角时，可以表示为∠O。
        *   用一个希腊字母表示：∠α。
        *   用数字表示：∠1。
*   **4.3.2 角的度量**
    *   单位：度、分、秒
    *   换算：1° = 60′，1′ = 60″
*   **4.3.3 角的大小比较**
    *   方法：
        *   度量法：用量角器量出角的度数，然后比较大小。
        *   叠合法：将两个角的顶点和一条边重合，另一条边落在重合边的同侧，然后比较大小。
*   **4.3.4 角的平分线**
    *   定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。
    *   性质：角的平分线将角分成两个相等的角。
*   **4.3.5 余角和补角**
    *   余角：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角。
    *   补角：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。
    *   性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。

《数学思维导图七年级》

一、有理数

1.1 基本概念

1.1.1 正数与负数
- 意义：表示具有相反意义的量
- 表示：在数字前加“+”或“-”号，零既不是正数也不是负数。
- 应用：生活中常见的相反意义的量，例如：收入与支出、上升与下降、盈利与亏损等。
1.1.2 有理数
- 定义：整数和分数的统称，可分为正有理数、负有理数和零。
- 分类：
  - 按定义分类：
    - 有理数
      - 整数
        
        正整数
        
        零
        
        负整数
      - 分数
        
        正分数
        
        负分数
  - 按正负分类：
    - 有理数
      - 正有理数
        
        正整数
        
        正分数
      - 零
      - 负有理数
        
        负整数
        
        负分数
1.1.3 数轴
- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
- 要素：原点、正方向、单位长度。
- 作用：
  - 直观地表示数。
  - 比较数的大小。
  - 理解相反数。
  - 理解绝对值。
1.1.4 相反数
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零。
- 表示：a的相反数是-a。
- 性质：互为相反数的两个数之和为零，即a + (-a) = 0。
1.1.5 绝对值
- 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
- 性质：
  - 正数的绝对值是它本身。
  - 负数的绝对值是它的相反数。
  - 零的绝对值是零。
- 几何意义：数轴上点到原点的距离。
- |a|≥0，绝对值具有非负性。

1.2 有理数的运算

1.2.1 有理数的加法
- 法则：
  - 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
  - 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  - 一个数同0相加，仍得这个数。
- 运算律：
  - 交换律：a + b = b + a
  - 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
1.2.2 有理数的减法
- 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b)。
1.2.3 有理数的乘法
- 法则：
  - 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  - 任何数同0相乘，都得0。
- 运算律：
  - 交换律：a × b = b × a
  - 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  - 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
1.2.4 有理数的除法
- 法则：
  - 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a ÷ b = a × (1/b)。
  - 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
1.2.5 有理数的乘方
- 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
- 表示：aⁿ，其中a为底数，n为指数。
- 符号法则：
  - 正数的任何次幂都是正数。
  - 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
  - 0的任何正整数次幂都是0。
1.2.6 科学计数法
- 定义：把一个大于10的数表示成a × 10ⁿ的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n是正整数。
1.2.7 近似数和有效数字
- 近似数：根据实际需要，用一个数近似地表示另一个数。
- 精确度：近似数的精确程度，通常用“精确到…”来表示。
- 有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止的所有数字。

二、代数式

2.1 代数式

2.1.1 用字母表示数
- 用字母表示数的意义：把数和数量关系简明地表示出来。
- 书写规则：
  - 字母与字母相乘，乘号可以省略不写，或者用“·”表示。
  - 数字与字母相乘，数字写在字母的前面。
  - 除法运算一般写成分数的形式。
  - 带有加减运算的式子要用括号括起来。
2.1.2 代数式
- 定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.1.3 代数式的值
- 定义：用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算所得的结果叫做代数式的值。
- 求代数式的值：
  - 先代入，即将字母替换为数值。
  - 后计算，按照运算顺序计算。

2.2 整式

2.2.1 单项式
- 定义：表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
- 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
- 次数：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.2.2 多项式
- 定义：几个单项式的和叫做多项式。
- 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的一个项。
- 常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。
- 次数：多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
2.2.3 整式
- 定义：单项式和多项式统称为整式。
2.2.4 同类项
- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
- 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
- 合并同类项的法则：
  - 系数相加，字母和字母的指数不变。

三、一元一次方程

3.1 方程

3.1.1 方程的意义
- 定义：含有未知数的等式叫做方程。
- 要素：未知数、等式。
3.1.2 方程的解
- 定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
- 解方程：求方程解的过程叫做解方程。

3.2 一元一次方程

3.2.1 一元一次方程的定义
- 定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程，叫做一元一次方程。
- 标准形式：ax + b = 0 (a ≠ 0)
3.2.2 等式的性质
- 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式。
- 性质2：等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。
3.2.3 解一元一次方程
- 一般步骤：
  - 去分母
  - 去括号
  - 移项
  - 合并同类项
  - 系数化为1

3.3 一元一次方程的应用

3.3.1 列方程解应用题
- 步骤：
  - 审题：弄清题意，找出已知条件和未知条件。
  - 设未知数：设适当的未知数（一般直接设所求的量为未知数）。
  - 列方程：根据等量关系列出方程。
  - 解方程：解所列的方程。
  - 检验：检验所求的解是否符合题意。
  - 写答案：写出完整的答案。
3.3.2 常见的应用题类型
- 行程问题
- 工程问题
- 利润问题
- 数字问题
- 分配问题

四、几何图形初步

4.1 立体图形与平面图形

4.1.1 立体图形
- 定义：各部分不都在同一个平面内的图形。
- 常见立体图形：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体、棱柱、棱锥等。
4.1.2 平面图形
- 定义：各部分都在同一个平面内的图形。
- 常见平面图形：三角形、四边形、圆、扇形、正方形、长方形等。

4.2 直线、射线、线段

4.2.1 直线
- 定义：将线段向两个方向无限延伸所形成的图形。
- 表示：
  - 用一个小写字母表示：直线l。
  - 用直线上的两个点表示：直线AB（或直线BA）。
- 性质：两点确定一条直线。
4.2.2 射线
- 定义：将线段向一个方向无限延伸所形成的图形。
- 表示：用端点和射线上的另一点表示：射线OA，端点必须写在前面。
4.2.3 线段
- 定义：直线上两点之间的部分。
- 表示：
  - 用一个小写字母表示：线段a。
  - 用线段的两个端点表示：线段AB（或线段BA）。
4.2.4 线段的长短比较
- 方法：
  - 度量法：用刻度尺量出线段的长度，然后比较大小。
  - 叠合法：将两条线段的一端对齐，另一端落在同一条直线上，然后比较大小。
4.2.5 线段的中点
- 定义：把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点。
- 性质：线段的中点将线段分成两条相等的线段。
4.2.6 两点之间的距离
- 定义：连接两点的线段的长度，叫做两点之间的距离。
- 性质：两点之间，线段最短。

4.3 角

4.3.1 角的定义
- 定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
- 表示：
  - 用三个大写字母表示：∠AOB，顶点必须写在中间。
  - 用一个大写字母表示：当顶点处只有一个角时，可以表示为∠O。
  - 用一个希腊字母表示：∠α。
  - 用数字表示：∠1。
4.3.2 角的度量
- 单位：度、分、秒
- 换算：1° = 60′，1′ = 60″
4.3.3 角的大小比较
- 方法：
  - 度量法：用量角器量出角的度数，然后比较大小。
  - 叠合法：将两个角的顶点和一条边重合，另一条边落在重合边的同侧，然后比较大小。
4.3.4 角的平分线
- 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。
- 性质：角的平分线将角分成两个相等的角。
4.3.5 余角和补角
- 余角：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角。
- 补角：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。
- 性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。

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