《初一数学下册思维导图》

一、整式的乘除

1. 幂的运算

1.1 同底数幂的乘法

• 定义： $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (m,n是正整数)
• 法则： 底数不变，指数相加
• 注意：
  • 底数必须相同
  • 指数是正整数
  • 推广：$a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$

1.2 幂的乘方

• 定义： $(a^m)^n = a^{mn}$ (m,n是正整数)
• 法则： 底数不变，指数相乘
• 注意：
  • 注意与同底数幂的乘法区别

1.3 积的乘方

• 定义： $(ab)^n = a^n b^n$ (n是正整数)
• 法则： 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
• 注意：
  • 推广： $(abc)^n = a^n b^n c^n$

1.4 同底数幂的除法

• 定义： $a^m \div a^n = a^{m-n}$ (a≠0, m,n是正整数，且m>n)
• 法则： 底数不变，指数相减
• 注意：
  • 底数不能为0
  • 指数是正整数，且被除数的指数大于除数的指数
• 零指数幂： $a^0 = 1$ (a≠0)
• 负整数指数幂： $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$ (a≠0, p是正整数)

2. 整式的乘法

2.1 单项式乘以单项式

• 法则： 系数与系数相乘，相同字母的幂按同底数幂的乘法法则计算，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2.2 单项式乘以多项式

• 法则： 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
• 公式： $m(a+b+c) = ma + mb + mc$

2.3 多项式乘以多项式

• 法则： 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
• 公式： $(a+b)(m+n) = am + an + bm + bn$

3. 整式的除法

3.1 单项式除以单项式

• 法则： 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式

3.2 多项式除以单项式

• 法则： 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加

4. 乘法公式

4.1 平方差公式

• 公式： $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
• 特征： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差

4.2 完全平方公式

• 公式： $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• 公式： $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• 特征： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍

二、相交线与平行线

1. 相交线

1.1 邻补角

• 定义： 有公共顶点，且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角
• 性质： 邻补角互补

1.2 对顶角

• 定义： 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角
• 性质： 对顶角相等

1.3 垂线

• 定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
• 性质：
  • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
  • 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

1.4 点到直线的距离

• 定义： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

2. 平行线

2.1 平行线的定义

• 定义： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线

2.2 平行公理及其推论

• 平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
• 推论： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

2.3 平行线的判定

• 同位角相等，两直线平行
• 内错角相等，两直线平行
• 同旁内角互补，两直线平行

2.4 平行线的性质

• 两直线平行，同位角相等
• 两直线平行，内错角相等
• 两直线平行，同旁内角互补

3. 平移

3.1 平移的定义

• 定义： 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
• 性质：
  • 平移不改变图形的形状和大小
  • 经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等。

三、三角形

1. 三角形的有关概念

1.1 三角形的定义

• 定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形

1.2 三角形的分类

• 按角分： 锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
• 按边分： 不等边三角形，等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）

1.3 三角形的重要线段

• 高线： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线
• 中线： 连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线
• 角平分线： 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线

2. 三角形的三边关系

• 定理： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

3. 三角形的内角和

• 定理： 三角形三个内角的和等于180°

4. 三角形的外角

4.1 外角的定义

• 定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角

4.2 外角的性质

• 性质1： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
• 性质2： 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角

四、变量之间的关系

1. 变量与常量

• 变量： 在一个变化过程中，可以取不同数值的量
• 常量： 在一个变化过程中，保持不变的量

2. 用表格表示变量之间的关系

• 表格可以清晰地显示变量之间的对应关系

3. 用关系式表示变量之间的关系

• 关系式可以用代数式表示变量之间的关系

4. 用图象表示变量之间的关系

• 图象可以直观地表示变量之间的关系

5. 实际问题与变量之间的关系

• 能够分析实际问题中的变量关系，并用适当的方式表达出来

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