高中函数总结思维导图
《高中函数总结思维导图》
一、 函数的概念与表示
1.1 函数的定义
- 定义：设A、B为非空的实数集合，若按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，则称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。
- 要素：定义域A、值域B、对应关系f
- 表示法：解析法、图像法、列表法
1.2 函数的三要素
- 定义域：函数自变量x的取值范围。求定义域的常见依据：
- 分母不为零；
- 偶次根式下大于等于零；
- 对数真数大于零，底数大于零且不等于1；
- 实际问题有意义；
- 值域：函数因变量y的取值范围。常见求值域方法：
- 直接法；
- 配方法；
- 换元法；
- 反函数法；
- 不等式法；
- 单调性法；
- 图像法；
- 对应关系：确定x与y之间的关系。
1.3 分段函数
- 定义：在定义域的不同部分，有不同的解析式的函数。
- 特点：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
- 求解：分别求出各段函数在对应定义域上的值，并综合起来。
二、 函数的性质
2.1 单调性
- 定义：
- 增函数：若对于定义域内任意的x1, x2，当x1 < x2时，都有f(x1) < f(x2)，则称f(x)在定义域内是增函数。
- 减函数：若对于定义域内任意的x1, x2，当x1 < x2时，都有f(x1) > f(x2)，则称f(x)在定义域内是减函数。
- 判断方法：
- 定义法：取值、作差、变形、定号、结论。
- 导数法：f'(x) > 0 则f(x)是增函数；f'(x) < 0 则f(x)是减函数。
- 复合函数法：同增异减。
2.2 奇偶性
- 定义：
- 偶函数：对于定义域内任意的x，都有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。图像关于y轴对称。
- 奇函数：对于定义域内任意的x，都有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。图像关于原点对称。
- 判断方法：
- 定义法：判断定义域是否关于原点对称，然后判断f(-x)与f(x)的关系。
- 图像法：观察图像是否关于y轴或原点对称。
- 性质：
- 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性。
- 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
- 定义域包含零的奇函数，必有f(0) = 0。
2.3 周期性
- 定义：若存在一个非零常数T，对于定义域内的任意x，都有f(x+T) = f(x)，则称f(x)为周期函数，T为周期。
- 性质：
- f(x+nT) = f(x)，n为整数。
- 若f(x+a) = f(x+b)，则|a-b|为周期。
- 若f(x+a) = -f(x)，则2a为周期。
- 若f(x+a) = 1/f(x)，则2a为周期。
- 若f(x+a) = c/f(x)，则2a为周期。
2.4 对称性
- 轴对称：若f(a+x) = f(a-x)，则f(x)的图像关于直线x=a对称。
- 中心对称：若f(a+x) + f(a-x) = 2b，则f(x)的图像关于点(a, b)对称。
三、 基本初等函数
3.1 指数函数
- 形式：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)
- 图像：
- a > 1：单调递增，图像过(0, 1)。
- 0 < a < 1：单调递减，图像过(0, 1)。
- 性质：
- 定义域：R
- 值域：(0, +∞)
- 恒过点(0, 1)
- a > 1时，x > 0, y > 1; x < 0, 0 < y < 1.
- 0 < a < 1时，x > 0, 0 < y < 1; x < 0, y > 1.
3.2 对数函数
- 形式：y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)
- 图像：
- a > 1：单调递增，图像过(1, 0)。
- 0 < a < 1：单调递减，图像过(1, 0)。
- 性质：
- 定义域：(0, +∞)
- 值域：R
- 恒过点(1, 0)
- a > 1时，x > 1, y > 0; 0 < x < 1, y < 0.
- 0 < a < 1时，x > 1, y < 0; 0 < x < 1, y > 0.
- 常用公式：
- log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)
- log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)
- log_a(M^n) = n * log_a(M)
- log_a(b) = ln(b) / ln(a) (换底公式)
3.3 幂函数
- 形式：y = x^α (α ∈ R)
- 性质：
- 根据α的不同取值，图像和性质不同，需要分类讨论。
- 常见的幂函数：y = x, y = x^2, y = x^3, y = x^(1/2), y = x^(-1)
3.4 三角函数
- 包括：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
- 性质：周期性、奇偶性、单调性、有界性。
- 图像：正弦曲线、余弦曲线、正切曲线。
- 三角恒等变换：和差角公式、倍角公式、半角公式、万能公式、积化和差、和差化积。
四、 函数的应用
4.1 函数与方程
- 零点：使f(x) = 0的x值。
- 零点存在性定理：若f(a) * f(b) < 0，则在(a, b)内至少存在一个零点。
- 二分法：用于求解方程的近似解。
4.2 函数模型及其应用
- 构建函数模型解决实际问题。
- 常见的函数模型：一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型。
- 优化问题：利用函数性质求解最大值或最小值。
五、 函数与导数(初步)
5.1 导数的概念
- 定义：函数y = f(x)在x=x0处的导数，表示函数在该点的切线斜率。
- 几何意义：切线斜率。
- 物理意义：瞬时变化率。
5.2 导数的运算
- 基本求导公式：(c)'=0, (x^n)'=nx^(n-1), (sinx)'=cosx, (cosx)'=-sinx, (e^x)'=e^x, (lnx)'=1/x
- 求导法则：加法、减法、乘法、除法。
5.3 导数的应用
- 判断函数的单调性：f'(x) > 0 则f(x)是增函数；f'(x) < 0 则f(x)是减函数。
- 求函数的极值与最值。
- 极值：函数在某一点附近的局部最大值或最小值。
- 最值：函数在定义域上的最大值或最小值。
