《高中三角函数思维导图》

中心主题：三角函数

一级分支：概念与定义

• 二级分支：角的概念
  • 定义：由一条射线绕其端点旋转形成的图形
  • 正角、负角、零角：按旋转方向区分
  • 象限角：角的终边落在哪个象限
  • 终边相同的角：2kπ + α (k∈Z)
• 二级分支：弧度制
  • 定义：弧长等于半径的圆心角为1弧度的角
  • 弧度与角度的换算：180° = π rad
  • 弧长公式：l = |α|r
  • 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
• 二级分支：三角函数定义
  • 定义域：角度允许的取值范围
  • 正弦 (sinα)：y/r
  • 余弦 (cosα)：x/r
  • 正切 (tanα)：y/x
  • 余切 (cotα)：x/y
  • 正割 (secα)：r/x
  • 余割 (cscα)：r/y
  • 符号判断：各象限三角函数值的符号
  • 单位圆：理解三角函数定义的工具
• 二级分支：特殊角的三角函数值
  • 0°, 30°, 45°, 60°, 90° 及其对应弧度制
  • 正弦、余弦、正切的数值记忆
• 二级分支：三角函数线
  • 正弦线、余弦线、正切线的几何表示
  • 利用三角函数线比较三角函数值的大小
  • 解决与不等式相关问题

一级分支：三角函数公式

• 二级分支：同角三角函数关系
  • 平方关系：sin²α + cos²α = 1
  • 商数关系：tanα = sinα/cosα, cotα = cosα/sinα
  • 倒数关系：tanα cotα = 1, sinα cscα = 1, cosα * secα = 1
• 二级分支：诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)
  • π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α 的三角函数
  • 简化三角函数计算
• 二级分支：和角公式与差角公式
  • sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
  • cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
  • tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)
• 二级分支：倍角公式
  • sin2α = 2sinαcosα
  • cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
  • tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
• 二级分支：半角公式
  • 利用倍角公式推导半角公式 (正负号取决于α/2所在象限)
• 二级分支：万能公式
  • sinα = 2tan(α/2) / (1 + tan²(α/2))
  • cosα = (1 - tan²(α/2)) / (1 + tan²(α/2))
  • tanα = 2tan(α/2) / (1 - tan²(α/2))
• 二级分支：积化和差与和差化积 (了解即可，高考考察频率低)
  • sinαcosβ = (1/2)[sin(α+β) + sin(α-β)]
  • cosαsinβ = (1/2)[sin(α+β) - sin(α-β)]
  • cosαcosβ = (1/2)[cos(α+β) + cos(α-β)]
  • sinαsinβ = -(1/2)[cos(α+β) - cos(α-β)]
  • sinα + sinβ = 2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)
  • sinα - sinβ = 2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2)
  • cosα + cosβ = 2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)
  • cosα - cosβ = -2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)

一级分支：三角函数的图像与性质

• 二级分支：正弦函数 y = sinx
  • 图像：正弦曲线
  • 定义域：R
  • 值域：[-1, 1]
  • 周期性：T = 2π
  • 奇偶性：奇函数
  • 单调性：[2kπ - π/2, 2kπ + π/2] 递增, [2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2] 递减 (k∈Z)
  • 对称性：关于直线 x = kπ + π/2对称，关于点 (kπ, 0) 对称 (k∈Z)
  • 最大值、最小值
• 二级分支：余弦函数 y = cosx
  • 图像：余弦曲线
  • 定义域：R
  • 值域：[-1, 1]
  • 周期性：T = 2π
  • 奇偶性：偶函数
  • 单调性：[2kπ, 2kπ + π] 递减, [2kπ + π, 2kπ + 2π] 递增 (k∈Z)
  • 对称性：关于直线 x = kπ 对称，关于点 (kπ + π/2, 0) 对称 (k∈Z)
  • 最大值、最小值
• 二级分支：正切函数 y = tanx
  • 图像：正切曲线
  • 定义域：{x | x ≠ kπ + π/2, k∈Z}
  • 值域：R
  • 周期性：T = π
  • 奇偶性：奇函数
  • 单调性：(kπ - π/2, kπ + π/2) 递增 (k∈Z)
  • 无最大值、最小值
• 二级分支：余切函数 y = cotx
  • 图像：余切曲线
  • 定义域：{x | x ≠ kπ, k∈Z}
  • 值域：R
  • 周期性：T = π
  • 奇偶性：奇函数
  • 单调性：(kπ, kπ + π) 递减 (k∈Z)
  • 无最大值、最小值
• 二级分支：函数 y = Asin(ωx + φ)
  • A：振幅
  • ω：影响周期，T = 2π/|ω|
  • φ：相位，影响图像左右平移，左加右减
  • 图像变换：伸缩变换、平移变换
  • 最大值、最小值：A 和 -A
  • 求单调区间：令 ωx + φ 在 [2kπ - π/2, 2kπ + π/2] 或 [2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2]

一级分支：解三角形

• 二级分支：正弦定理
  • a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为外接圆半径)
  • 解决：已知两角和一边，已知两边和其中一边的对角
• 二级分支：余弦定理
  • a² = b² + c² - 2bccosA
  • b² = a² + c² - 2accosB
  • c² = a² + b² - 2abcosC
  • 解决：已知三边，已知两边和它们的夹角
• 二级分支：面积公式
  • S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)acsinB
  • S = pr (p为半周长，r为内切圆半径)
  • S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) (海伦公式)
• 二级分支：三角形类型判断
  • 根据角的大小判断：锐角、直角、钝角
  • 根据边的大小判断：等腰、等边
• 二级分支：应用
  • 测量距离、高度、角度等实际问题
  • 注意仰角、俯角、方位角、坡度等概念

一级分支：三角恒等变换的应用

• 二级分支：化简
  • 化简三角函数式
  • 降幂、升幂
  • 统一角、统一函数名
• 二级分支：证明
  • 证明三角恒等式
  • 灵活运用公式
• 二级分支：求值
  • 已知某些三角函数值，求其他三角函数值
  • 注意角的范围
• 二级分支：解方程
  • 求解三角方程
  • 注意解的个数和范围

一级分支：辅助角公式

• asin(x) + bcos(x) = √(a² + b²)sin(x + φ)
  • 其中 tanφ = b/a
  • 将多个三角函数化为一个三角函数，方便求值域、最值、单调区间等
• 图像变换理解

补充说明：

• 灵活运用公式，熟练掌握各种变换技巧。
• 注意角的范围，避免增根或漏根。
• 数形结合，利用图像分析问题。
• 在实际应用中，注意问题的转化，建立数学模型。
• 多做练习，提高解题能力。