高一上数学函数思维导图

《高一上数学函数思维导图》

中心主题：函数

• 一级分支：概念与定义

  • 定义：

    • 传统定义：两个变量间的依赖关系 (x, y)
    • 映射定义：集合 A 到集合 B 的一种对应关系 f: A -> B
      • A 为定义域 (Domain)，记作 D(f)
      • B 为值域 (Range)，记作 R(f) 或 {y | y = f(x), x ∈ A}
    • 定义域的确定：
      • 使解析式有意义 (分母不为零，偶次根式非负，对数真数大于零，零的零次方无意义)
      • 实际问题有意义
    • 值域的求法：
      • 直接法：观察法、配方法、判别式法、换元法、单调性法、不等式法、导数法（高年级）
      • 间接法：利用反函数
    • 对应法则：f，明确输入输出间的对应关系

  • 函数的三要素：

    • 定义域
    • 对应法则
    • 值域 (由定义域和对应法则唯一确定)
    • 判断两个函数是否相同：定义域和对应法则均相同

  • 函数的表示方法：

    • 解析法：用数学表达式表示，例如 y = f(x)
    • 图像法：用图像直观表示，体现变化趋势
    • 列表法：列出对应关系，例如函数表

• 一级分支：函数性质

  • 单调性：

    • 定义：
      • 增函数：对于定义域内任意 x1, x2，若 x1 < x2，则 f(x1) < f(x2) (严格递增)
      • 减函数：对于定义域内任意 x1, x2，若 x1 < x2，则 f(x1) > f(x2) (严格递减)
    • 判断方法：
      • 定义法：取值、作差、变形、定号、结论
      • 导数法（高年级）：导数大于零为增函数，小于零为减函数
      • 复合函数：同增异减
    • 应用：
      • 解不等式
      • 求最值
      • 证明不等式
      • 比较大小

  • 奇偶性：

    • 定义：
      • 偶函数：f(-x) = f(x)，图像关于 y 轴对称
      • 奇函数：f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称
      • 既奇又偶：f(x) = 0 (定义域关于原点对称)
    • 判断方法：
      • 定义法：判断 f(-x) 与 f(x) 的关系
      • 图像法：观察图像的对称性
    • 性质：
      • 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同
      • 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反
      • 奇函数图像过原点 (若定义域包含0)

  • 周期性：

    • 定义：存在常数 T (T ≠ 0)，使得 f(x + T) = f(x) 对定义域内所有 x 成立，则称 f(x) 为周期函数，T 为周期
    • 常见的周期性：
      • f(x + T) = f(x)
      • f(x + T) = -f(x) => 2T 为周期
      • f(x + T) = 1/f(x) => 2T 为周期
      • f(x + T) = -1/f(x) => 2T 为周期
    • 应用：简化函数表达式，求特定函数值

  • 对称性：

    • f(a + x) = f(a - x)：图像关于直线 x = a 对称
    • f(a + x) + f(a - x) = 2b：图像关于点 (a, b) 对称

• 一级分支：基本初等函数

  • 幂函数： y = x^α (α ∈ R)

    • 性质：
      • 当 α > 0 时，在 (0, +∞) 上单调递增
      • 当 α < 0 时，在 (0, +∞) 上单调递减
      • 图像必过 (1, 1)
    • 常见幂函数图像：y = x, y = x², y = x³, y = x^(1/2), y = x^(-1)

  • 指数函数： y = a^x (a > 0, a ≠ 1)

    • 性质：
      • 定义域：R，值域：(0, +∞)
      • 必过 (0, 1)
      • 当 a > 1 时，单调递增
      • 当 0 < a < 1 时，单调递减
    • 图像特征：指数爆炸式增长/衰减

  • 对数函数： y = logₐ(x) (a > 0, a ≠ 1)

    • 性质：
      • 定义域：(0, +∞)，值域：R
      • 必过 (1, 0)
      • 当 a > 1 时，单调递增
      • 当 0 < a < 1 时，单调递减
    • 图像特征：增长/衰减缓慢

  • 三角函数（简述）： (高中阶段初步涉及，此处仅列出名称)

    • 正弦函数：y = sin(x)
    • 余弦函数：y = cos(x)
    • 正切函数：y = tan(x)

• 一级分支：函数应用

  • 函数与方程：

    • 函数的零点：f(x) = 0 的根
    • 零点存在性定理：若 f(a)f(b) < 0，则在 (a, b) 内存在零点
    • 二分法：求函数零点的近似值

  • 函数模型及其应用：

    • 一次函数模型
    • 二次函数模型
    • 指数函数模型
    • 对数函数模型
    • 分段函数模型
    • 实际问题的建模、分析、求解

  • 不等式与函数：

    • 解不等式 f(x) > 0 => 求 f(x) 图像在 x 轴上方部分的 x 的取值范围
    • 解不等式 f(x) < 0 => 求 f(x) 图像在 x 轴下方部分的 x 的取值范围

• 一级分支：重要函数类型

  • 一次函数： y = kx + b (k ≠ 0)

    • k > 0，单调递增； k < 0，单调递减
    • b 为 y 轴截距

  • 二次函数： y = ax² + bx + c (a ≠ 0)

    • 开口方向：a > 0，开口向上； a < 0，开口向下
    • 对称轴：x = -b/2a
    • 顶点坐标：(-b/2a, (4ac - b²)/4a)
    • 最值：在对称轴处取得
    • 与 x 轴的交点 (零点)：判别式 Δ = b² - 4ac 的应用

  • 反比例函数： y = k/x (k ≠ 0)

    • 图像为双曲线
    • 关于原点对称

  • 分段函数：

    • 定义域被分成若干段，每一段有不同的对应法则
    • 计算函数值时，需要判断自变量属于哪一段

• 一级分支：函数图像变换

  • 平移变换：

    • 左加右减：y = f(x + a) 向左平移 a 个单位，y = f(x - a) 向右平移 a 个单位
    • 上加下减：y = f(x) + b 向上平移 b 个单位，y = f(x) - b 向下平移 b 个单位

  • 对称变换：

    • 关于 x 轴对称：y = -f(x)
    • 关于 y 轴对称：y = f(-x)
    • 关于原点对称：y = -f(-x)
    • 关于直线 x = a 对称：y = f(2a - x)

  • 伸缩变换：

    • 横坐标伸缩：y = f(ωx)，ω > 1，横坐标缩短为原来的 1/ω；0 < ω < 1，横坐标伸长为原来的 1/ω
    • 纵坐标伸缩：y = Af(x)，A > 1，纵坐标伸长为原来的 A 倍； 0 < A < 1，纵坐标缩短为原来的 A 倍