《二次函数思维导图》

一、定义与性质

• 定义：

  • 一般式： y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
  • 顶点式： y = a(x - h)² + k
  • 交点式： y = a(x - x₁) (x - x₂)

• 性质：

  • 开口方向： a > 0 开口向上， a < 0 开口向下
  • 对称轴： x = -b / 2a
  • 顶点坐标： (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a) 或 (h, k)
  • 最值： a > 0 有最小值， a < 0 有最大值
  • 增减性：对称轴左侧单调递减/递增，右侧单调递增/递减

二、图像

• 绘制：

  • 确定顶点坐标
  • 确定对称轴
  • 选取关键点（如与x轴交点、与y轴交点）
  • 绘制光滑曲线

• 平移变换：

  • 左右平移： y = a(x ± m)² + k (x -> x ± m)
  • 上下平移： y = a(x - h)² + (k ± n) (y -> y ± n)

• 对称变换：

  • 关于x轴对称： y -> -y
  • 关于y轴对称： x -> -x
  • 关于原点对称： x -> -x, y -> -y

三、解析式求解

• 待定系数法：
  • 已知三个点
  • 已知顶点坐标和另一个点
  • 已知对称轴和一个点
  • 已知与x轴的两个交点

四、应用

• 最值问题：

  • 实际问题转化为二次函数模型
  • 求顶点坐标

• 与x轴的交点问题：

  • 判断 Δ = b² - 4ac 的符号
    • Δ > 0 两个不相等的实数根
    • Δ = 0 两个相等的实数根
    • Δ < 0 没有实数根
  • 韦达定理： x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a

• 与其他函数的综合应用：

  • 一次函数
  • 反比例函数
  • 不等式
  • 方程