二次函数思维导图

# 《二次函数思维导图》 ## 一、定义与性质 * **定义：** * 一般式： y = ax² + bx + c (a ≠ 0) * 顶点式： y = a(x - h)² + k * 交点式： y = a(x - x₁) (x - x₂) * **性质：** * 开口方向： a > 0 开口向上， a < 0 开口向下 * 对称轴： x = -b / 2a * 顶点坐标： (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a) 或 (h, k) * 最值： a > 0 有最小值， a < 0 有最大值 * 增减性：对称轴左侧单调递减/递增，右侧单调递增/递减 ## 二、图像 * **绘制：** * 确定顶点坐标 * 确定对称轴 * 选取关键点（如与x轴交点、与y轴交点） * 绘制光滑曲线 * **平移变换：** * 左右平移： y = a(x ± m)² + k (x -> x ± m) * 上下平移： y = a(x - h)² + (k ± n) (y -> y ± n) * **对称变换：** * 关于x轴对称： y -> -y * 关于y轴对称： x -> -x * 关于原点对称： x -> -x, y -> -y ## 三、解析式求解 * **待定系数法：** * 已知三个点 * 已知顶点坐标和另一个点 * 已知对称轴和一个点 * 已知与x轴的两个交点 ## 四、应用 * **最值问题：** * 实际问题转化为二次函数模型 * 求顶点坐标 * **与x轴的交点问题：** * 判断 Δ = b² - 4ac 的符号 * Δ > 0 两个不相等的实数根 * Δ = 0 两个相等的实数根 * Δ < 0 没有实数根 * 韦达定理： x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a * **与其他函数的综合应用：** * 一次函数 * 反比例函数 * 不等式 * 方程

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