函数的思维导图

# 《函数的思维导图》 **中心主题：函数** **一级分支：概念与定义** * **定义：** * 自变量 (Domain) * 因变量 (Range/Image) * 映射 (Mapping) * 对应法则 (Rule) * 定义域 (Domain) * 值域 (Range) * 函数符号 (f(x), g(x), etc.) * **表示方法：** * 解析式 (Explicit Formula) * 优点：精确、易于计算 * 缺点：并非所有函数都有解析式 * 图像法 (Graph) * 优点：直观、易于理解 * 缺点：精度有限 * 表格法 (Table) * 优点：记录特定点的值 * 缺点：信息量有限 * 文字描述 * 优点：描述复杂关系 * 缺点：不够精确 * **函数关系：** * 变量之间的依赖关系 * 唯一性：一个自变量对应唯一一个因变量 * 存在性：并非所有自变量都有对应因变量 **一级分支：函数分类** * **按性质分：** * 初等函数 * 幂函数 (y = x^a) * 指数函数 (y = a^x) * 对数函数 (y = log_a(x)) * 三角函数 (y = sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)) * 反三角函数 (y = arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x)) * 常数函数 (y = c) * 有理函数 (Rational Function) * 整式函数 (Polynomial Function) * 分式函数 (Fractional Function) * 代数函数 * 由代数运算得到的函数 * 非初等函数 * 分段函数 (Piecewise Function) * 符号函数 (Sign Function) * 狄利克雷函数 (Dirichlet Function) * **按性质分(续)：** * 显函数:可以直接用x表示y的函数, 例如:y=f(x) * 隐函数:y不能直接用x表示,需要通过方程,例如: F(x,y) = 0 * **按对称性分：** * 奇函数 (Odd Function) * 定义：f(-x) = -f(x) * 图像：关于原点对称 * 偶函数 (Even Function) * 定义：f(-x) = f(x) * 图像：关于y轴对称 * 非奇非偶函数 * 既奇又偶函数 (y = 0) * **按单调性分：** * 单调递增函数 (Monotonically Increasing Function) * 定义：x1 < x2 => f(x1) < f(x2) * 单调递减函数 (Monotonically Decreasing Function) * 定义：x1 < x2 => f(x1) > f(x2) * 非单调函数 **一级分支：函数性质** * **单调性 (Monotonicity):** * 定义：单调递增、单调递减 * 判断方法：导数、定义 * 应用：比较大小、求解最值 * **奇偶性 (Parity):** * 定义：奇函数、偶函数 * 图像：对称性 * 应用：简化计算、判断函数图像 * **周期性 (Periodicity):** * 定义：f(x + T) = f(x) * 周期：最小正周期 * 应用：简化计算、判断函数图像 * **有界性 (Boundedness):** * 定义：存在上界、下界 * 应用：判断极限、证明收敛性 * **连续性 (Continuity):** * 定义：在某点连续、在某区间连续 * 判断方法：极限存在且等于函数值 * 应用：中值定理、零点存在定理 **一级分支：函数运算** * **四则运算：** * 加法：(f + g)(x) = f(x) + g(x) * 减法：(f - g)(x) = f(x) - g(x) * 乘法：(f * g)(x) = f(x) * g(x) * 除法：(f / g)(x) = f(x) / g(x) (g(x) ≠ 0) * **复合函数 (Composition):** * 定义：(f ∘ g)(x) = f(g(x)) * 注意：定义域、值域的变化 * **反函数 (Inverse Function):** * 定义：y = f(x) <=> x = f^(-1)(y) * 存在条件：一一映射 * 图像：关于y = x 对称 * **函数的导数和微分** * 导数概念：变化率，切线斜率 * 求导法则：加减乘除法则，复合函数求导（链式法则），反函数求导 * 微分概念：导数乘以自变量的增量，线性逼近 * 高阶导数 * **函数的积分** * 不定积分：求导的逆运算 * 定积分：面积，黎曼和 * 微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式 * 积分的应用：求面积，求体积，求弧长 **一级分支：重要函数类型详解** * **一次函数 (Linear Function):** * 解析式：y = kx + b * 图像：直线 * 性质：斜率、截距 * **二次函数 (Quadratic Function):** * 解析式：y = ax^2 + bx + c * 图像：抛物线 * 性质：顶点、对称轴、开口方向 * **指数函数 (Exponential Function):** * 解析式：y = a^x * 性质：单调性、过定点(0, 1) * **对数函数 (Logarithmic Function):** * 解析式：y = log_a(x) * 性质：单调性、过定点(1, 0) * **三角函数 (Trigonometric Functions):** * 正弦函数 (Sine Function) * 余弦函数 (Cosine Function) * 正切函数 (Tangent Function) * 性质：周期性、奇偶性、单调性、图像 * **幂函数 (Power Function):** * 解析式：y = x^a * 性质：随指数a的变化而变化 * **反比例函数 (Inverse Proportional Function):** * 解析式：y = k/x * 图像：双曲线 * 性质：关于原点对称，单调性 **一级分支：应用** * **数学建模：** * 用函数描述现实问题 * **优化问题：** * 利用导数求解最值 * **数据分析：** * 拟合函数、预测趋势 * **物理学：** * 描述运动规律 * **经济学：** * 描述供求关系、成本函数 **一级分支：常用定理和结论** * **零点存在定理** * **介值定理** * **费马定理** * **罗尔定理** * **拉格朗日中值定理** * **泰勒公式** * **洛必达法则**

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