《函数的思维导图》

中心主题：函数

一级分支：概念与定义

• 定义：
  • 自变量 (Domain)
  • 因变量 (Range/Image)
  • 映射 (Mapping)
  • 对应法则 (Rule)
  • 定义域 (Domain)
  • 值域 (Range)
  • 函数符号 (f(x), g(x), etc.)
• 表示方法：
  • 解析式 (Explicit Formula)
    • 优点：精确、易于计算
    • 缺点：并非所有函数都有解析式
  • 图像法 (Graph)
    • 优点：直观、易于理解
    • 缺点：精度有限
  • 表格法 (Table)
    • 优点：记录特定点的值
    • 缺点：信息量有限
  • 文字描述
    • 优点：描述复杂关系
    • 缺点：不够精确
• 函数关系：
  • 变量之间的依赖关系
  • 唯一性：一个自变量对应唯一一个因变量
  • 存在性：并非所有自变量都有对应因变量

一级分支：函数分类

• 按性质分：
  • 初等函数
    • 幂函数 (y = x^a)
    • 指数函数 (y = a^x)
    • 对数函数 (y = log_a(x))
    • 三角函数 (y = sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x))
    • 反三角函数 (y = arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x))
    • 常数函数 (y = c)
    • 有理函数 (Rational Function)
      • 整式函数 (Polynomial Function)
      • 分式函数 (Fractional Function)
    • 代数函数
      • 由代数运算得到的函数
  • 非初等函数
    • 分段函数 (Piecewise Function)
    • 符号函数 (Sign Function)
    • 狄利克雷函数 (Dirichlet Function)
• 按性质分(续)：
  • 显函数:可以直接用x表示y的函数, 例如:y=f(x)
  • 隐函数:y不能直接用x表示,需要通过方程,例如: F(x,y) = 0
• 按对称性分：
  • 奇函数 (Odd Function)
    • 定义：f(-x) = -f(x)
    • 图像：关于原点对称
  • 偶函数 (Even Function)
    • 定义：f(-x) = f(x)
    • 图像：关于y轴对称
  • 非奇非偶函数
  • 既奇又偶函数 (y = 0)
• 按单调性分：
  • 单调递增函数 (Monotonically Increasing Function)
    • 定义：x1 < x2 => f(x1) < f(x2)
  • 单调递减函数 (Monotonically Decreasing Function)
    • 定义：x1 < x2 => f(x1) > f(x2)
  • 非单调函数

一级分支：函数性质

• 单调性 (Monotonicity):
  • 定义：单调递增、单调递减
  • 判断方法：导数、定义
  • 应用：比较大小、求解最值
• 奇偶性 (Parity):
  • 定义：奇函数、偶函数
  • 图像：对称性
  • 应用：简化计算、判断函数图像
• 周期性 (Periodicity):
  • 定义：f(x + T) = f(x)
  • 周期：最小正周期
  • 应用：简化计算、判断函数图像
• 有界性 (Boundedness):
  • 定义：存在上界、下界
  • 应用：判断极限、证明收敛性
• 连续性 (Continuity):
  • 定义：在某点连续、在某区间连续
  • 判断方法：极限存在且等于函数值
  • 应用：中值定理、零点存在定理

一级分支：函数运算

• 四则运算：
  • 加法：(f + g)(x) = f(x) + g(x)
  • 减法：(f - g)(x) = f(x) - g(x)
  • 乘法：(f g)(x) = f(x) g(x)
  • 除法：(f / g)(x) = f(x) / g(x) (g(x) ≠ 0)
• 复合函数 (Composition):
  • 定义：(f ∘ g)(x) = f(g(x))
  • 注意：定义域、值域的变化
• 反函数 (Inverse Function):
  • 定义：y = f(x) <=> x = f^(-1)(y)
  • 存在条件：一一映射
  • 图像：关于y = x 对称
• 函数的导数和微分
  • 导数概念：变化率，切线斜率
  • 求导法则：加减乘除法则，复合函数求导（链式法则），反函数求导
  • 微分概念：导数乘以自变量的增量，线性逼近
  • 高阶导数
• 函数的积分
  • 不定积分：求导的逆运算
  • 定积分：面积，黎曼和
  • 微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式
  • 积分的应用：求面积，求体积，求弧长

一级分支：重要函数类型详解

• 一次函数 (Linear Function):
  • 解析式：y = kx + b
  • 图像：直线
  • 性质：斜率、截距
• 二次函数 (Quadratic Function):
  • 解析式：y = ax^2 + bx + c
  • 图像：抛物线
  • 性质：顶点、对称轴、开口方向
• 指数函数 (Exponential Function):
  • 解析式：y = a^x
  • 性质：单调性、过定点(0, 1)
• 对数函数 (Logarithmic Function):
  • 解析式：y = log_a(x)
  • 性质：单调性、过定点(1, 0)
• 三角函数 (Trigonometric Functions):
  • 正弦函数 (Sine Function)
  • 余弦函数 (Cosine Function)
  • 正切函数 (Tangent Function)
  • 性质：周期性、奇偶性、单调性、图像
• 幂函数 (Power Function):
  • 解析式：y = x^a
  • 性质：随指数a的变化而变化
• 反比例函数 (Inverse Proportional Function):
  • 解析式：y = k/x
  • 图像：双曲线
  • 性质：关于原点对称，单调性

一级分支：应用

• 数学建模：
  • 用函数描述现实问题
• 优化问题：
  • 利用导数求解最值
• 数据分析：
  • 拟合函数、预测趋势
• 物理学：
  • 描述运动规律
• 经济学：
  • 描述供求关系、成本函数

一级分支：常用定理和结论

• 零点存在定理
• 介值定理
• 费马定理
• 罗尔定理
• 拉格朗日中值定理
• 泰勒公式
• 洛必达法则