分数思维导图
《分数思维导图》
一、 分数的定义与概念
- 定义
- 将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
- 形式：a/b (b≠0), a为分子，b为分母
- 单位“1”
- 可以是一个物体、一个计量单位，也可以是一些物体的集合。
- 强调“平均分”
- 分数单位
- 分母是几，分数单位就是几分之一。
- 例如：1/5 的分数单位是 1/5。
- 分数与除法的关系
- a/b = a ÷ b (b≠0)
- 被除数相当于分子，除数相当于分母，商相当于分数值。
- 分数与比的关系
- a/b = a:b
- 分母相当于比的后项，分子相当于比的前项，分数值相当于比值。
- 真分数、假分数和带分数
- 真分数： 分子小于分母的分数 (a/b, a < b)，真分数小于1。
- 假分数： 分子大于或等于分母的分数 (a/b, a ≥ b)，假分数大于等于1。
- 带分数： 由整数和真分数合成的数。假分数可以化成带分数或整数。 例如: 5/3 = 1 又 2/3
- 整数化为假分数: 整数乘以分母作为分子,分母不变。 例如： 3 = 3/1 = 6/2 = 9/3
二、 分数的基本性质
- 内容
- 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
- a/b = (a×c)/(b×c) = (a÷d)/(b÷d) (c≠0, d≠0)
- 作用
- 约分：将分数化成最简分数。
- 通分：将异分母分数化成同分母分数。
- 最简分数
- 分子和分母是互质数的分数（分子分母没有公约数，除了1）。
三、 分数的大小比较
- 同分母分数
- 同分子分数
- 异分母分数
- 先通分，化成同分母分数，再比较分子的大小。
- 或化成小数进行比较。
- 与“1”比较
- 找中间数比较
四、 分数的运算
- 加法和减法
- 同分母分数： 分母不变，分子相加减。
- 异分母分数： 先通分，化成同分母分数，再按同分母分数加减法计算。
- 带分数： 先把带分数化成假分数，再进行计算。 也可以整数部分和分数部分分别计算，再合并。
- 乘法
- 分数乘整数：分子与整数相乘的积作分子，分母不变。能约分的先约分。
- 分数乘分数：分子乘分子作分子，分母乘分母作分母。能约分的先约分。
- 除法
- 除以一个数等于乘以这个数的倒数。
- 分数除以整数： 分母不变，分子除以整数（0除外）。能约分的先约分。
- 分数除以分数：乘以除数的倒数。
- 混合运算
- 运算顺序与整数混合运算相同：先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。
- 简便计算：运用运算定律进行简便计算。例如：分配律、结合律、交换律。
五、 分数应用题
- “求一个数的几分之几是多少”的问题
- 用乘法计算。 例如： 求20的1/4 是多少？ 列式： 20 × 1/4 = 5
- “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题
- 用除法计算，或者用方程解。 例如： 一个数的 1/4 是5，求这个数？ 列式： 5 ÷ 1/4 = 20 或者 设这个数为x， 1/4 x = 5, 解得 x = 20
- “比一个数多（少）几分之几是多少”的问题
- 先把“多（少）几分之几”转化成“是几分之几”。
- 例如：比20多1/4 是多少？ 先算 1 + 1/4 = 5/4 , 再算 20 × 5/4 = 25
- 比20少1/4 是多少？ 先算 1 - 1/4 = 3/4 , 再算 20 × 3/4 = 15
- 工程问题
- 把总工程量看作单位“1”。
- 工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间
- 工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率
- 工作量 = 工作效率 × 工作时间
- 比的应用
- 按比例分配： 把一个数量按照一定的比进行分配。
- 先求出总份数，再求出每份是多少。
- 复杂分数应用题
- 找准单位“1”，理清数量关系。
- 用线段图辅助分析。
- 可以列综合算式或方程解答。
六、 分数与小数的互化
- 分数化小数
- 小数化分数
- 看小数是几位小数，就在1后面添几个0作分母；把小数去掉小数点作分子；能约分的要约成最简分数。
- 例如： 0.3 = 3/10， 0.25 = 25/100 = 1/4， 0.125 = 125/1000 = 1/8
七、 易错点
- 没有找准单位“1”。 单位“1”变化导致结果错误。
- 计算错误。 尤其是异分母加减法时，通分出错。 约分，化简出错。
- 审题不清。 没有理解题意，导致列式错误。
- 概念混淆。 例如，真分数、假分数、带分数的概念。
八、 分数的重要意义
- 数学基础 是学习更高深数学知识的基础，如代数、几何等。
- 生活应用 在日常生活中广泛应用，如测量、分配、计算比例等。
- 培养思维 培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
- 模型构建 分数的概念是数学建模的基础，可以用于表示各种关系和比例。
