《函数思维导图》

一、 函数概述

• 定义:
  • 一种特殊的映射关系，从定义域到值域的映射。
  • 描述变量之间依赖关系。
  • 代码复用的基本单元。
• 要素:
  • 定义域 (Domain): 函数允许的输入值集合。
  • 值域 (Range): 函数所有可能的输出值集合。
  • 对应关系 (Rule): 输入值如何映射到输出值的规则，通常用函数表达式表示。
  • 自变量 (Independent Variable): 输入值，通常用 x 表示。
  • 因变量 (Dependent Variable): 输出值，通常用 y 表示，y = f(x)。
• 表示方法:
  • 函数表达式 (Formula): 如 y = x^2 + 2x + 1。
  • 表格 (Table): 列出一些 x 和 y 的对应关系。
  • 图像 (Graph): 在坐标系中绘制 (x, y) 点。
  • 集合表示: f: A -> B，A 为定义域，B 为值域。
• 函数类型分类:
  • 按性质: 奇函数、偶函数、单调函数、周期函数、有界函数。
  • 按表达式: 显函数、隐函数、分段函数。
  • 按具体形式: 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、多项式函数、有理函数、无理函数。
• 应用:
  • 数学建模
  • 程序设计
  • 数据分析
  • 机器学习

二、 函数的性质

• 奇偶性:
  • 奇函数: f(-x) = -f(x)，关于原点对称。
  • 偶函数: f(-x) = f(x)，关于 y 轴对称。
  • 非奇非偶函数，既不是奇函数也不是偶函数。
  • 一个函数最多有一个奇偶性，但可以是奇函数也可以是偶函数（例如 f(x) = 0）。
• 单调性:
  • 单调递增: x1 < x2 => f(x1) < f(x2)。
  • 单调递减: x1 < x2 => f(x1) > f(x2)。
  • 区间单调性: 函数在某个区间内是单调的。
  • 利用导数判断单调性：f'(x) > 0 (增), f'(x) < 0 (减).
• 周期性:
  • 存在一个常数 T (T ≠ 0)，使得 f(x + T) = f(x)。
  • T 称为周期。
  • 最小正周期（若存在）。
• 有界性:
  • 上界: 存在 M，使得 f(x) ≤ M。
  • 下界: 存在 m，使得 f(x) ≥ m。
  • 有界: 既有上界又有下界。
• 极值与最值:
  • 极值: 局部最大/最小值。 通过一阶导数等于0或者不存在的点确定可能的极值点。再通过二阶导数或一阶导数符号变化判断是否为极值，及极大/小值。
  • 最值: 全局最大/最小值。 通常在定义域内，极值点和边界点中寻找。

三、 常见函数类型

• 幂函数: y = x^a (a 为常数)。
  • a 不同取值影响函数图像和性质。
  • 常见幂函数：y = x, y = x^2, y = x^3, y = x^(1/2)。
• 指数函数: y = a^x (a > 0, a ≠ 1)。
  • a > 1 时单调递增；0 < a < 1 时单调递减。
  • 过点 (0, 1)。
• 对数函数: y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)。
  • 是指数函数的反函数。
  • a > 1 时单调递增；0 < a < 1 时单调递减。
  • 过点 (1, 0)。
• 三角函数: y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x), y = cot(x)。
  • 具有周期性。
  • 有界性。
  • 奇偶性。
• 反三角函数: y = arcsin(x), y = arccos(x), y = arctan(x), y = arccot(x)。
  • 三角函数的反函数。
  • 限制定义域以保证反函数存在。
• 多项式函数: y = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0。
  • n 次多项式。
  • 连续函数。
• 有理函数: y = P(x) / Q(x) (P(x), Q(x) 为多项式)。
  • 定义域：Q(x) ≠ 0。
  • 可能存在渐近线。
• 分段函数: 在不同区间定义不同的表达式。
  • 注意分段点处的连续性和可导性。

四、 函数的运算

• 加减: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f - g)(x) = f(x) - g(x)。
• 乘除: (f g)(x) = f(x) g(x), (f / g)(x) = f(x) / g(x) (g(x) ≠ 0)。
• 复合: (f o g)(x) = f(g(x))。
  • g(x) 的值域必须包含在 f(x) 的定义域内。
  • 复合顺序很重要。
• 反函数: f^(-1)(x)。
  • 原函数和反函数关于 y = x 对称。
  • 只有一一对应的函数才存在反函数。
• 导数:
  • 描述函数变化的速率。
  • 用于求极值、判断单调性等。
  • 基本导数公式 (幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等)。
  • 求导法则 (加法、减法、乘法、除法、复合函数求导)。
• 积分:
  • 导数的逆运算。
  • 计算曲线下面积。
  • 基本积分公式。
  • 积分方法 (换元积分法、分部积分法)。

五、 函数的应用实例

• 物理:
  • 运动学：描述物体的位置、速度、加速度随时间的变化。
  • 电学：描述电流、电压随时间的变化。
• 经济:
  • 成本函数、收益函数、利润函数。
  • 需求函数、供给函数。
• 计算机科学:
  • 算法复杂度分析。
  • 数据结构 (如哈希函数)。
• 工程:
  • 控制系统设计。
  • 信号处理。

六、 函数思维的拓展

• 泛函: 函数的函数。
• 函数式编程: 一种编程范式，将计算视为数学函数的求值，并避免更改状态和可变数据。
• 抽象代数: 研究各种代数结构，如群、环、域等，这些结构都可以看作是更广义的函数。
• 机器学习: 许多机器学习模型可以看作是函数，学习的过程就是寻找最佳函数的过程。
• 数据分析: 函数可以用来描述数据之间的关系，进行预测和建模。