三角函数思维导图
# 《三角函数思维导图》
**一、角的概念与弧度制**
* **1.1 角的概念**
* 定义：从一个端点出发的两条射线形成的图形
* 角的分类：
* 正角：按逆时针方向旋转形成的角
* 负角：按顺时针方向旋转形成的角
* 零角：射线没有旋转
* 象限角：角的终边落在第几象限，就称该角为第几象限角
* 终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为{β| β = α + 2kπ, k ∈ Z}
* **1.2 弧度制**
* 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角
* 换算公式：
* 180° = π rad
* 1 rad = (180/π)° ≈ 57.30°
* 弧长公式： l = |α|r (α为弧所对的圆心角，r为半径)
* 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
**二、三角函数的定义**
* **2.1 任意角的三角函数**
* 定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)，则
* 正弦：sinα = y
* 余弦：cosα = x
* 正切：tanα = y/x (x≠0)
* 余切：cotα = x/y (y≠0)
* 正割：secα = 1/x (x≠0)
* 余割：cscα = 1/y (y≠0)
* 各象限三角函数值的符号：
* 第一象限：全正
* 第二象限：正弦正，其余为负
* 第三象限：正切正，其余为负
* 第四象限：余弦正，其余为负
* 三角函数线的几何意义：
* 正弦线：从x轴正半轴到终边与单位圆交点的y轴投影
* 余弦线：从原点到终边与单位圆交点的x轴投影
* 正切线：从x轴正半轴上(1,0)点到终边或其反向延长线与单位圆切线的交点
* **2.2 特殊角的三角函数值**
* 0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°，360°的三角函数值 (需牢记)
**三、三角函数的基本关系式**
* **3.1 同角三角函数的基本关系**
* 平方关系：sin²α + cos²α = 1
* 商数关系：tanα = sinα/cosα (cosα≠0)，cotα = cosα/sinα (sinα≠0)
* 倒数关系：tanα * cotα = 1， secα * cosα = 1， cscα * sinα = 1
* **3.2 诱导公式**
* 公式一：sin(α + 2kπ) = sinα, cos(α + 2kπ) = cosα, tan(α + 2kπ) = tanα (k ∈ Z)
* 公式二：sin(π + α) = -sinα, cos(π + α) = -cosα, tan(π + α) = tanα
* 公式三：sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα, tan(-α) = -tanα
* 公式四：sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = -cosα, tan(π - α) = -tanα
* 公式五：sin(π/2 - α) = cosα, cos(π/2 - α) = sinα, tan(π/2 - α) = cotα
* 公式六：sin(π/2 + α) = cosα, cos(π/2 + α) = -sinα, tan(π/2 + α) = -cotα
* 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。 (针对kπ/2 ± α形式)
**四、三角函数的图像与性质**
* **4.1 正弦函数 y = sinx**
* 定义域：R
* 值域：[-1, 1]
* 周期性：T = 2π
* 奇偶性：奇函数
* 单调性：在[−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] (k ∈ Z)上单调递增；在[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] (k ∈ Z)上单调递减
* 对称性：关于直线x = π/2 + kπ (k ∈ Z)对称；关于点(kπ, 0) (k ∈ Z)对称
* 图像：正弦曲线
* **4.2 余弦函数 y = cosx**
* 定义域：R
* 值域：[-1, 1]
* 周期性：T = 2π
* 奇偶性：偶函数
* 单调性：在[2kπ, π + 2kπ] (k ∈ Z)上单调递减；在[π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k ∈ Z)上单调递增
* 对称性：关于直线x = kπ (k ∈ Z)对称；关于点(π/2 + kπ, 0) (k ∈ Z)对称
* 图像：余弦曲线
* **4.3 正切函数 y = tanx**
* 定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}
* 值域：R
* 周期性：T = π
* 奇偶性：奇函数
* 单调性：在(π/2 + kπ, π/2 + kπ) (k ∈ Z)上单调递增
* 对称性：关于点(kπ, 0) (k ∈ Z)对称
* 图像：正切曲线
* **4.4 函数 y = Asin(ωx + φ)**
* A：振幅，决定函数最大值和最小值
* ω：角频率，决定函数周期T = 2π/|ω|
* φ：初相，决定函数图像的左右平移，左加右减 (相位变换)
* 图像变换：
* 纵坐标伸缩变换：y = sinx → y = Asinx
* 横坐标伸缩变换：y = sinx → y = sinωx
* 平移变换：y = sinωx → y = sin(ωx + φ)
**五、三角恒等变换**
* **5.1 两角和与差的三角函数**
* sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
* cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
* tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)
* **5.2 倍角公式**
* sin2α = 2sinαcosα
* cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
* tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
* **5.3 半角公式 (较少使用)**
* sin(α/2) = ±√[(1-cosα)/2]
* cos(α/2) = ±√[(1+cosα)/2]
* tan(α/2) = ±√[(1-cosα)/(1+cosα)] = sinα/(1+cosα) = (1-cosα)/sinα
* **5.4 积化和差与和差化积公式 (了解)**
* 积化和差：
* sinαcosβ = 1/2[sin(α+β) + sin(α-β)]
* cosαsinβ = 1/2[sin(α+β) - sin(α-β)]
* cosαcosβ = 1/2[cos(α+β) + cos(α-β)]
* sinαsinβ = -1/2[cos(α+β) - cos(α-β)]
* 和差化积：
* sinα + sinβ = 2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
* sinα - sinβ = 2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
* cosα + cosβ = 2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
* cosα - cosβ = -2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
* **5.5 万能公式**
* sinα = 2tan(α/2) / [1 + tan²(α/2)]
* cosα = [1 - tan²(α/2)] / [1 + tan²(α/2)]
* tanα = 2tan(α/2) / [1 - tan²(α/2)]
**六、解三角形**
* **6.1 正弦定理**
* a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为三角形外接圆半径)
* 变形：
* a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC
* sinA = a/2R, sinB = b/2R, sinC = c/2R
* **6.2 余弦定理**
* a² = b² + c² - 2bccosA
* b² = a² + c² - 2accosB
* c² = a² + b² - 2abcosC
* 变形：
* cosA = (b² + c² - a²) / 2bc
* cosB = (a² + c² - b²) / 2ac
* cosC = (a² + b² - c²) / 2ab
* **6.3 三角形面积公式**
* S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)casinB
* S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) (海伦公式，p = (a+b+c)/2)
* **6.4 解三角形的类型**
* 已知两角和一边：唯一解
* 已知两边和其中一边的对角：可能有两解、一解或无解 (注意正弦定理和三角形内角和)
* 已知两边和夹角：唯一解
* 已知三边：唯一解
**七、三角函数的应用**
* **7.1 实际问题中的三角函数建模**
* 测量问题：高度、距离、角度的计算
* 物理问题：简谐运动、交变电流等
* 几何问题：角度计算、面积计算等
* **7.2 三角函数的最值问题**
* 化为y = Asin(ωx + φ) + k形式求解
* 利用三角函数图像的性质
* 利用基本不等式
* 换元法
**八、三角函数的解题技巧**
* 灵活运用三角公式
* 注意角的范围的限制
* 数形结合的思想
* 整体代换的思想
* 注意隐含条件
* 分类讨论的思想
* 转化与化归的思想
以上是一个详细的三角函数思维导图的文字版，涵盖了三角函数的主要内容，希望能帮助你系统地学习和复习三角函数。
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