《三角函数思维导图》
一、角的概念与弧度制
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1.1 角的概念
- 定义：从一个端点出发的两条射线形成的图形
- 角的分类：
- 正角：按逆时针方向旋转形成的角
- 负角：按顺时针方向旋转形成的角
- 零角：射线没有旋转
- 象限角：角的终边落在第几象限，就称该角为第几象限角
- 终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为{β| β = α + 2kπ, k ∈ Z}
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1.2 弧度制
- 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角
- 换算公式：
- 180° = π rad
- 1 rad = (180/π)° ≈ 57.30°
- 弧长公式： l = |α|r (α为弧所对的圆心角，r为半径)
- 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
二、三角函数的定义
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2.1 任意角的三角函数
- 定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)，则
- 正弦：sinα = y
- 余弦：cosα = x
- 正切：tanα = y/x (x≠0)
- 余切：cotα = x/y (y≠0)
- 正割：secα = 1/x (x≠0)
- 余割：cscα = 1/y (y≠0)
- 各象限三角函数值的符号：
- 第一象限：全正
- 第二象限：正弦正，其余为负
- 第三象限：正切正，其余为负
- 第四象限：余弦正，其余为负
- 三角函数线的几何意义：
- 正弦线：从x轴正半轴到终边与单位圆交点的y轴投影
- 余弦线：从原点到终边与单位圆交点的x轴投影
- 正切线：从x轴正半轴上(1,0)点到终边或其反向延长线与单位圆切线的交点
- 定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)，则
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2.2 特殊角的三角函数值
- 0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°，360°的三角函数值 (需牢记)
三、三角函数的基本关系式
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3.1 同角三角函数的基本关系
- 平方关系：sin²α + cos²α = 1
- 商数关系：tanα = sinα/cosα (cosα≠0)，cotα = cosα/sinα (sinα≠0)
- 倒数关系：tanα cotα = 1， secα cosα = 1， cscα * sinα = 1
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3.2 诱导公式
- 公式一：sin(α + 2kπ) = sinα, cos(α + 2kπ) = cosα, tan(α + 2kπ) = tanα (k ∈ Z)
- 公式二：sin(π + α) = -sinα, cos(π + α) = -cosα, tan(π + α) = tanα
- 公式三：sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα, tan(-α) = -tanα
- 公式四：sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = -cosα, tan(π - α) = -tanα
- 公式五：sin(π/2 - α) = cosα, cos(π/2 - α) = sinα, tan(π/2 - α) = cotα
- 公式六：sin(π/2 + α) = cosα, cos(π/2 + α) = -sinα, tan(π/2 + α) = -cotα
- 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。 (针对kπ/2 ± α形式)
四、三角函数的图像与性质
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4.1 正弦函数 y = sinx
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期性：T = 2π
- 奇偶性：奇函数
- 单调性：在[−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] (k ∈ Z)上单调递增；在[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] (k ∈ Z)上单调递减
- 对称性：关于直线x = π/2 + kπ (k ∈ Z)对称；关于点(kπ, 0) (k ∈ Z)对称
- 图像：正弦曲线
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4.2 余弦函数 y = cosx
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期性：T = 2π
- 奇偶性：偶函数
- 单调性：在[2kπ, π + 2kπ] (k ∈ Z)上单调递减；在[π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k ∈ Z)上单调递增
- 对称性：关于直线x = kπ (k ∈ Z)对称；关于点(π/2 + kπ, 0) (k ∈ Z)对称
- 图像：余弦曲线
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4.3 正切函数 y = tanx
- 定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}
- 值域：R
- 周期性：T = π
- 奇偶性：奇函数
- 单调性：在(π/2 + kπ, π/2 + kπ) (k ∈ Z)上单调递增
- 对称性：关于点(kπ, 0) (k ∈ Z)对称
- 图像：正切曲线
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4.4 函数 y = Asin(ωx + φ)
- A：振幅，决定函数最大值和最小值
- ω：角频率，决定函数周期T = 2π/|ω|
- φ：初相，决定函数图像的左右平移，左加右减 (相位变换)
- 图像变换：
- 纵坐标伸缩变换：y = sinx → y = Asinx
- 横坐标伸缩变换：y = sinx → y = sinωx
- 平移变换：y = sinωx → y = sin(ωx + φ)
五、三角恒等变换
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5.1 两角和与差的三角函数
- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)
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5.2 倍角公式
- sin2α = 2sinαcosα
- cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
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5.3 半角公式 (较少使用)
- sin(α/2) = ±√[(1-cosα)/2]
- cos(α/2) = ±√[(1+cosα)/2]
- tan(α/2) = ±√[(1-cosα)/(1+cosα)] = sinα/(1+cosα) = (1-cosα)/sinα
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5.4 积化和差与和差化积公式 (了解)
- 积化和差：
- sinαcosβ = 1/2[sin(α+β) + sin(α-β)]
- cosαsinβ = 1/2[sin(α+β) - sin(α-β)]
- cosαcosβ = 1/2[cos(α+β) + cos(α-β)]
- sinαsinβ = -1/2[cos(α+β) - cos(α-β)]
- 和差化积：
- sinα + sinβ = 2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
- sinα - sinβ = 2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
- cosα + cosβ = 2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
- cosα - cosβ = -2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
- 积化和差：
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5.5 万能公式
- sinα = 2tan(α/2) / [1 + tan²(α/2)]
- cosα = [1 - tan²(α/2)] / [1 + tan²(α/2)]
- tanα = 2tan(α/2) / [1 - tan²(α/2)]
六、解三角形
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6.1 正弦定理
- a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为三角形外接圆半径)
- 变形：
- a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC
- sinA = a/2R, sinB = b/2R, sinC = c/2R
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6.2 余弦定理
- a² = b² + c² - 2bccosA
- b² = a² + c² - 2accosB
- c² = a² + b² - 2abcosC
- 变形：
- cosA = (b² + c² - a²) / 2bc
- cosB = (a² + c² - b²) / 2ac
- cosC = (a² + b² - c²) / 2ab
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6.3 三角形面积公式
- S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)casinB
- S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) (海伦公式，p = (a+b+c)/2)
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6.4 解三角形的类型
- 已知两角和一边：唯一解
- 已知两边和其中一边的对角：可能有两解、一解或无解 (注意正弦定理和三角形内角和)
- 已知两边和夹角：唯一解
- 已知三边：唯一解
七、三角函数的应用
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7.1 实际问题中的三角函数建模
- 测量问题：高度、距离、角度的计算
- 物理问题：简谐运动、交变电流等
- 几何问题：角度计算、面积计算等
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7.2 三角函数的最值问题
- 化为y = Asin(ωx + φ) + k形式求解
- 利用三角函数图像的性质
- 利用基本不等式
- 换元法
八、三角函数的解题技巧
- 灵活运用三角公式
- 注意角的范围的限制
- 数形结合的思想
- 整体代换的思想
- 注意隐含条件
- 分类讨论的思想
- 转化与化归的思想
以上是一个详细的三角函数思维导图的文字版，涵盖了三角函数的主要内容，希望能帮助你系统地学习和复习三角函数。