《数学三角形思维导图》

中心主题：数学三角形

一级分支：基本概念

• 定义：
  • 几何定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
  • 代数定义（坐标几何）：平面直角坐标系中，三个顶点坐标已知的图形。
• 要素：
  • 顶点：三个顶点（A, B, C）。
  • 边：三条边（AB, BC, CA，通常记为a, b, c）。
  • 角：三个内角（∠A, ∠B, ∠C）。
• 表示：
  • 符号：△ABC
• 分类：
  • 按角分类：
    • 锐角三角形：三个角都是锐角。
    • 直角三角形：有一个角是直角（90°）。
    • 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°）。
  • 按边分类：
    • 不等边三角形：三条边长度都不相等。
    • 等腰三角形：两条边长度相等。
      • 等边三角形：三条边长度都相等（也称为正三角形，是特殊的等腰三角形）。

一级分支：重要线段

• 高线：
  • 定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段。
  • 特性：每条边对应一条高线，一个三角形有三条高线（或高线所在的直线）。
  • 交点：三条高线（或高线所在的直线）交于一点，称为垂心。
• 中线：
  • 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
  • 特性：每条边对应一条中线，一个三角形有三条中线。
  • 交点：三条中线交于一点，称为重心。重心到顶点的距离等于重心到对边中点距离的两倍。
• 角平分线：
  • 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。
  • 特性：每个内角对应一条角平分线，一个三角形有三条角平分线。
  • 交点：三条角平分线交于一点，称为内心。内心是三角形内切圆的圆心。
• 中位线：
  • 定义：连接三角形两边中点的线段。
  • 特性：平行于第三边，且长度等于第三边的一半。
  • 数量：一个三角形有三条中位线。

一级分支：三角形的性质

• 内角和定理：
  • 定理：三角形的三个内角之和等于180°。
  • 推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
• 边长关系：
  • 三角形两边之和大于第三边。
  • 三角形两边之差小于第三边。
• 大角对大边： 在一个三角形中，较大的角所对的边较长。反之，较长的边所对的角较大。
• 等腰三角形的性质：
  • 两腰相等。
  • 两底角相等。
  • 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
• 等边三角形的性质：
  • 三边相等。
  • 三个内角都等于60°。
  • 三线合一（每条边上的高、中线、角平分线都重合）。
• 直角三角形的性质：
  • 两个锐角互余。
  • 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
  • 勾股定理：a² + b² = c²（a, b为直角边，c为斜边）。
  • 斜边上的中线等于斜边的一半。

一级分支：面积计算

• 一般三角形：
  • S = (1/2) 底 高 (S = (1/2)bh)
  • S = (1/2) a b * sinC (两边及其夹角)
  • 海伦公式： S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p = (a+b+c)/2 (已知三边)
  • S = rs (r为内切圆半径，s为半周长，s = (a+b+c)/2)
• 直角三角形：
  • S = (1/2) 直角边1 直角边2 (S = (1/2)ab)
• 等边三角形：
  • S = (√3/4) * 边长² (S = (√3/4)a²)

一级分支：特殊三角形

• 直角三角形：
  • 勾股定理：a² + b² = c²
  • 勾股定理逆定理：如果三角形三边长满足 a² + b² = c²，则该三角形为直角三角形。
  • 常见勾股数：(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25)
• 等腰三角形：
  • 顶角、底角、腰的性质
  • 三线合一
• 等边三角形：
  • 每个内角60度
  • 高线、中线、角平分线重合

一级分支：三角形的全等与相似

• 全等三角形：
  • 定义：能够完全重合的两个三角形。
  • 判定定理：
    • SSS (边边边)：三边对应相等。
    • SAS (边角边)：两边及其夹角对应相等。
    • ASA (角边角)：两角及其夹边对应相等。
    • AAS (角角边)：两角及其中一角的对边对应相等。
    • HL (斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。
  • 性质：对应边相等，对应角相等。
• 相似三角形：
  • 定义：形状相同，大小不同的两个三角形。
  • 判定定理：
    • 平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似。
    • 两角对应相等。
    • 两边对应成比例且夹角相等。
    • 三边对应成比例。
  • 性质：
    • 对应角相等。
    • 对应边成比例。
    • 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
    • 相似三角形的面积比等于相似比的平方。

一级分支：三角形与三角函数（针对高中阶段）

• 正弦定理： a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为外接圆半径)
• 余弦定理： a² = b² + c² - 2bccosA; b² = a² + c² - 2accosB; c² = a² + b² - 2abcosC
• 解三角形： 已知三角形的某些元素，求出所有未知元素的过程。
  • 已知两角及一边，求其他边和角。
  • 已知两边及夹角，求第三边和角。
  • 已知三边，求三个角。

一级分支：应用

• 实际问题： 测量、建筑、导航等。
• 几何证明： 证明线段相等、角相等、平行、垂直等。
• 代数计算： 利用三角形的性质解决代数问题。
• 物理学： 力的分解、运动轨迹等。

一级分支：延伸思考

• 三角形与其他图形的关系：与四边形、圆等图形的组合问题。
• 三角形的推广：四面体（三维空间中的三角形）。
• 非欧几何中的三角形。
• 分形几何中的三角形（如谢尔宾斯基三角形）。