《高一数学必修一三角函数思维导图》

一、角的概念与弧度制

• 角的定义:
  • 静态定义：从一点出发的两条射线组成的图形。
  • 动态定义：一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
  • 始边、终边、顶点
• 角的分类:
  • 正角：逆时针旋转。
  • 负角：顺时针旋转。
  • 零角：射线未作任何旋转。
• 象限角:
  • 角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角。
  • 终边相同的角表示：{α | α = β + 2kπ, k ∈ Z}，其中β是与α终边相同的角。
• 弧度制:
  • 定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad。
  • 弧度与角度的换算：180° = π rad，1 rad = (180/π)° ≈ 57.30°
  • 弧长公式：l = |α|r，其中l是弧长，α是弧度，r是半径。
  • 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²

二、三角函数的定义

• 任意角的三角函数:
  • 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)。
  • 正弦函数：sin α = y
  • 余弦函数：cos α = x
  • 正切函数：tan α = y/x (x ≠ 0)
• 三角函数值的符号:
  • 一全正，二正弦，三正切，四余弦 (即：第一象限所有三角函数值为正，第二象限正弦值为正，第三象限正切值为正，第四象限余弦值为正)。
• 特殊角的三角函数值:
  • 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π 的正弦、余弦、正切值（列表记忆）。
• 同角三角函数的基本关系:
  • 平方关系：sin²α + cos²α = 1
  • 商数关系：tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0)
  • 倒数关系：tan α · cot α = 1, sin α · csc α = 1, cos α · sec α = 1 (通常不单独记忆倒数关系)

三、三角函数的图像与性质

• 正弦函数 y = sin x:
  • 图像：正弦曲线 (sinusoid)
  • 定义域：R
  • 值域：[-1, 1]
  • 周期性：T = 2π
  • 奇偶性：奇函数，sin(-x) = -sin x
  • 单调性：在[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调递增，在[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调递减。
  • 对称性：关于直线 x = π/2 + kπ (k ∈ Z) 对称，关于点 (kπ, 0) (k ∈ Z) 对称。
  • 关键点：(0, 0), (π/2, 1), (π, 0), (3π/2, -1), (2π, 0)
• 余弦函数 y = cos x:
  • 图像：余弦曲线
  • 定义域：R
  • 值域：[-1, 1]
  • 周期性：T = 2π
  • 奇偶性：偶函数，cos(-x) = cos x
  • 单调性：在[2kπ, π + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调递减，在[π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调递增。
  • 对称性：关于直线 x = kπ (k ∈ Z) 对称，关于点 (π/2 + kπ, 0) (k ∈ Z) 对称。
  • 关键点：(0, 1), (π/2, 0), (π, -1), (3π/2, 0), (2π, 1)
• 正切函数 y = tan x:
  • 图像：正切曲线
  • 定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}
  • 值域：R
  • 周期性：T = π
  • 奇偶性：奇函数，tan(-x) = -tan x
  • 单调性：在 (-π/2 + kπ, π/2 + kπ) (k ∈ Z) 上单调递增。
  • 对称性：关于点 (kπ, 0) (k ∈ Z) 对称。
  • 渐近线：x = π/2 + kπ (k ∈ Z)
• 函数 y = A sin(ωx + φ) 的图像变换:
  • 振幅变换：A的影响 (纵坐标伸缩)
  • 周期变换：ω的影响 (横坐标伸缩)
  • 相位变换：φ的影响 (图像平移)
  • 平移变换：整体加减常数 (图像上下平移)
  • 由 y = sin x 到 y = A sin(ωx + φ) 的变换步骤 (先平移后伸缩, 或者先伸缩后平移)

四、三角恒等变换

• 和角公式:
  • sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
  • cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
  • tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)
• 差角公式:
  • sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
  • cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
  • tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β)
• 倍角公式:
  • sin 2α = 2 sin α cos α
  • cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
  • tan 2α = 2 tan α / (1 - tan²α)
• 半角公式（较少使用）:
  • sin(α/2) = ±√((1 - cos α) / 2)
  • cos(α/2) = ±√((1 + cos α) / 2)
  • tan(α/2) = ±√((1 - cos α) / (1 + cos α)) = sin α / (1 + cos α) = (1 - cos α) / sin α
• 积化和差、和差化积公式（一般不做要求，了解即可）:
  • sin α cos β = (1/2)[sin(α + β) + sin(α - β)]
  • cos α sin β = (1/2)[sin(α + β) - sin(α - β)]
  • cos α cos β = (1/2)[cos(α + β) + cos(α - β)]
  • sin α sin β = -(1/2)[cos(α + β) - cos(α - β)]
  • sin x + sin y = 2 sin((x + y)/2) cos((x - y)/2)
  • sin x - sin y = 2 cos((x + y)/2) sin((x - y)/2)
  • cos x + cos y = 2 cos((x + y)/2) cos((x - y)/2)
  • cos x - cos y = -2 sin((x + y)/2) sin((x - y)/2)

五、解三角形（初步，更深入的内容在必修五）

• 正弦定理:
  • a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (R为三角形外接圆半径)
• 余弦定理:
  • a² = b² + c² - 2bc cos A
  • b² = a² + c² - 2ac cos B
  • c² = a² + b² - 2ab cos C
• 三角形面积公式:
  • S = (1/2)ab sin C = (1/2)bc sin A = (1/2)ac sin B
  • S = (1/2)a² sinB sinC / sinA 等变形公式
• 解三角形的基本类型:
  • 已知两角和一边 (AAS, ASA)
  • 已知两边和一角的对边 (SSA，可能有多解)
  • 已知两边和它们的夹角 (SAS)
  • 已知三边 (SSS)

六、思维导图总结

• 角的概念与弧度制：理解角的推广、象限角、弧度制以及弧长和扇形面积公式。
• 三角函数的定义：掌握任意角的三角函数的定义，以及三角函数值的符号法则。
• 三角函数的图像与性质：熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图像、定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性以及图像变换。
• 三角恒等变换：熟练运用和差角公式、倍角公式进行化简、求值和证明。
• 解三角形：运用正弦定理和余弦定理解三角形问题。

通过以上思维导图的梳理，可以帮助学生更好地理解和掌握高一数学必修一的三角函数内容。建议学生在学习过程中多做练习，加深理解，灵活运用。