《高一数学平面向量思维导图》

一、 向量的基本概念

• 1.1 向量的定义：
  • 既有大小又有方向的量。
  • 几何表示：带有方向的线段，起点和终点决定向量。
  • 记法：$\overrightarrow{AB}$ (起点A，终点B)， a, α等。
• 1.2 向量的模：
  • 向量的长度，记作 $|\overrightarrow{AB}|$ 或 $|$a$|$。
  • 非负实数。
• 1.3 零向量：
  • 模为零的向量，记作 0。
  • 方向任意，与任何向量平行。
• 1.4 单位向量：
  • 模为1的向量。
  • 与向量 a 同向的单位向量为 $\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$。
• 1.5 平行向量（共线向量）：
  • 方向相同或相反的非零向量。
  • a // b ( b ≠ 0) ⇔ a = λb (λ为实数)。
  • 规定：零向量与任何向量平行。
• 1.6 相等向量：
  • 模相等且方向相同的向量。
  • $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ⇔ $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}|$ 且 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 方向相同。
• 1.7 相反向量：
  • 模相等且方向相反的向量。
  • a 与 -a 互为相反向量。
  • a + (-a) = 0。
  • 若 a = $\overrightarrow{AB}$，则 -a = $\overrightarrow{BA}$。

二、 向量的线性运算

• 2.1 向量的加法：
  • 三角形法则： 将向量首尾相接，起点指向终点，构成和向量。
    • $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
  • 平行四边形法则： 将向量起点重合，以两向量为邻边作平行四边形，其对角线（起点指向终点）为和向量。
  • 运算律：
    • 交换律： a + b = b + a
    • 结合律：( a + b) + c = a + ( b + c)
• 2.2 向量的减法：
  • a - b = a + (-b)
  • 几何意义： $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$ (起点相同，指向被减向量的终点)
• 2.3 向量的数乘：
  • λa:
    • |λa| = |λ| * |a|
    • λ > 0，λa 与 a 同向；λ < 0，λa 与 a 反向；λ = 0，λa = 0。
  • 运算律：
    • λ(μa) = (λμ)a
    • (λ + μ)a = λa + μa
    • λ( a + b) = λa + λb
• 2.4 共线向量定理：
  • 向量 b 与非零向量 a 共线 ⇔ 存在唯一实数λ，使得 b = λa。

三、 平面向量基本定理及坐标表示

• 3.1 平面向量基本定理：
  • 若 e₁, e₂ 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ₁, λ₂，使得 a = λ₁e₁ + λ₂e₂。
  • e₁, e₂ 称为该平面内的一组基底。
• 3.2 平面向量的坐标表示：
  • 在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底，对于平面内任意向量 a，有且只有一对实数 x, y，使得 a = xi + yj，则有序数对 (x, y) 叫做向量 a 的坐标，记作 a = (x, y)。
  • x 叫做 a 在 x轴上的坐标，y 叫做 a 在 y轴上的坐标。
• 3.3 向量坐标的运算：
  • 若 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则：
    • a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
    • a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)
    • λa = (λx₁, λy₁)
  • 若 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则 $\overrightarrow{AB}$ = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)
• 3.4 向量共线的坐标表示：
  • 若 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则 a // b ⇔ x₁y₂ - x₂y₁ = 0 (x₂y₂ ≠ 0)

四、 平面向量的数量积

• 4.1 向量的夹角：
  • 已知两个非零向量 a 和 b，作 $\overrightarrow{OA}$ = a，$\overrightarrow{OB}$ = b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 <a, b>。
  • 0° ≤ <a, b> ≤ 180°
• 4.2 向量的数量积：
  • a · b = |a| |b| cos<a, b>
  • 也称内积。
  • 几何意义： a · b 等于 a 的模与 b 在 a 的方向上的投影的乘积。
• 4.3 数量积的性质：
  • e 是单位向量，则 a · e = |a|cos<a, e>
  • a ⊥ b ⇔ a · b = 0
  • |a| = $\sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}$
  • cos<a, b> = $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}$
• 4.4 数量积的运算律：
  • a · b = b · a
  • (λa) · b = λ( a · b) = a · (λb)
  • ( a + b) · c = a · c + b · c
• 4.5 数量积的坐标表示：
  • 若 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则 a · b = x₁x₂ + y₁y₂
  • |a| = $\sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
  • cos<a, b> = $\frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$
  • a ⊥ b ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

五、 向量的应用

• 5.1 用向量方法解决几何问题：
  • 平行、垂直的判定。
  • 长度、角度的计算。
  • 共线、共点的证明。
• 5.2 用向量方法解决物理问题：
  • 力的合成与分解。
  • 功的计算。
• 5.3 向量的综合应用：
  • 与三角函数、解析几何等知识的结合。
  • 解决实际问题。

六、 重点公式汇总

• $\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}$ (共线)
• $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$
• $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ (坐标共线)
• $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta$
• $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
• $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ (垂直)
• $\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$