《高一数学三角函数思维导图》

一、角度制与弧度制

• 概念：
  • 角度制：以度为单位度量角的制度，一周角为360度。
  • 弧度制：以弧长等于半径的圆心角为1弧度的制度。
• 转换：
  • 180° = π (rad)
  • 1° = π/180 (rad)
  • 1 (rad) = 180/π (° )
• 弧长公式：
  • l = |α| * r (l:弧长, α:弧度角, r:半径)
• 扇形面积公式：
  • S = (1/2) l r = (1/2) |α| r^2

二、三角函数的定义

• 任意角三角函数：
  • 设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x, y), r = √(x^2 + y^2) > 0
  • 正弦：sinα = y/r
  • 余弦：cosα = x/r
  • 正切：tanα = y/x (x ≠ 0)
  • 余切：cotα = x/y (y ≠ 0)
  • 正割：secα = r/x (x ≠ 0)
  • 余割：cscα = r/y (y ≠ 0)
• 三角函数线：
  • 正弦线：MP
  • 余弦线：OM
  • 正切线：AT
• 三角函数值的符号：
  • 象限角决定正负号：
    • 第一象限：sin, cos, tan, cot > 0
    • 第二象限：sin > 0, cos, tan, cot < 0
    • 第三象限：tan, cot > 0, sin, cos < 0
    • 第四象限：cos > 0, sin, tan, cot < 0

三、同角三角函数关系

• 平方关系：
  • sin^2α + cos^2α = 1
  • 1 + tan^2α = sec^2α
  • 1 + cot^2α = csc^2α
• 商的关系：
  • tanα = sinα / cosα
  • cotα = cosα / sinα
• 倒数关系：
  • sinα * cscα = 1
  • cosα * secα = 1
  • tanα * cotα = 1

四、诱导公式

• 公式一：
  • sin(α + 2kπ) = sinα
  • cos(α + 2kπ) = cosα
  • tan(α + 2kπ) = tanα (k ∈ Z)
• 公式二：
  • sin(-α) = -sinα
  • cos(-α) = cosα
  • tan(-α) = -tanα
• 公式三：
  • sin(π + α) = -sinα
  • cos(π + α) = -cosα
  • tan(π + α) = tanα
• 公式四：
  • sin(π - α) = sinα
  • cos(π - α) = -cosα
  • tan(π - α) = -tanα
• 公式五、六：
  • sin(π/2 - α) = cosα
  • cos(π/2 - α) = sinα
  • sin(π/2 + α) = cosα
  • cos(π/2 + α) = -sinα
• 口诀： 奇变偶不变，符号看象限。（针对π/2 ± α, π ± α等形式的角）

五、三角函数的图像与性质

• 正弦函数 y = sinx
  • 定义域：R
  • 值域：[-1, 1]
  • 周期：T = 2π
  • 奇偶性：奇函数
  • 单调性：
    • 增区间：[-(π/2) + 2kπ, (π/2) + 2kπ] (k ∈ Z)
    • 减区间：[(π/2) + 2kπ, (3π/2) + 2kπ] (k ∈ Z)
  • 对称性：
    • 对称中心：(kπ, 0) (k ∈ Z)
    • 对称轴：x = (π/2) + kπ (k ∈ Z)
• 余弦函数 y = cosx
  • 定义域：R
  • 值域：[-1, 1]
  • 周期：T = 2π
  • 奇偶性：偶函数
  • 单调性：
    • 增区间：[-(π) + 2kπ, 2kπ] (k ∈ Z)
    • 减区间：[2kπ, π + 2kπ] (k ∈ Z)
  • 对称性：
    • 对称中心：((π/2) + kπ, 0) (k ∈ Z)
    • 对称轴：x = kπ (k ∈ Z)
• 正切函数 y = tanx
  • 定义域：{x | x ≠ (π/2) + kπ, k ∈ Z}
  • 值域：R
  • 周期：T = π
  • 奇偶性：奇函数
  • 单调性：增区间：(-(π/2) + kπ, (π/2) + kπ) (k ∈ Z)
  • 对称中心：(kπ,0)

六、函数 y = Asin(ωx + φ)

• 振幅： |A|
• 周期： T = 2π/|ω|
• 频率： f = 1/T = |ω|/2π
• 相位： ωx + φ
• 初相： φ
• 图像变换：
  • 伸缩变换：ω影响横坐标，A影响纵坐标。
  • 平移变换：φ影响横坐标(左加右减)。

七、解三角形

• 正弦定理： a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R是外接圆半径)
• 余弦定理：
  • a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosA
  • b^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cosB
  • c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC
• 面积公式：
  • S = (1/2) bc sinA = (1/2) ac sinB = (1/2) ab sinC
  • S = (1/2) * ah (h是a边上的高)
• 解三角形的类型：
  • 已知两角和一边：用正弦定理
  • 已知两边和一边的对角：用正弦定理，注意解的个数
  • 已知两边和夹角：用余弦定理
  • 已知三边：用余弦定理求角

八、实际应用

• 测量问题：高度，距离，角度等。
• 物理问题：简谐运动，交流电等。

这份思维导图涵盖了高一数学三角函数的主要内容，包括概念、公式、图像和性质以及应用。通过理解和掌握这些知识点，能够更好地解决三角函数相关问题。