高一数学三角函数思维导图

# 《高一数学三角函数思维导图》

## 一、角度制与弧度制

*   **概念：**
    *   角度制：以度为单位度量角的制度，一周角为360度。
    *   弧度制：以弧长等于半径的圆心角为1弧度的制度。
*   **转换：**
    *   180° = π (rad)
    *   1° = π/180 (rad)
    *   1 (rad) = 180/π (° )
*   **弧长公式：**
    *   l = |α| * r  (l:弧长, α:弧度角, r:半径)
*   **扇形面积公式：**
    *   S = (1/2) * l * r = (1/2) * |α| * r^2

## 二、三角函数的定义

*   **任意角三角函数：**
    *   设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x, y), r = √(x^2 + y^2) > 0
    *   正弦：sinα = y/r
    *   余弦：cosα = x/r
    *   正切：tanα = y/x (x ≠ 0)
    *   余切：cotα = x/y (y ≠ 0)
    *   正割：secα = r/x (x ≠ 0)
    *   余割：cscα = r/y (y ≠ 0)
*   **三角函数线：**
    *   正弦线：MP
    *   余弦线：OM
    *   正切线：AT
*   **三角函数值的符号：**
    *   象限角决定正负号：
        *   第一象限：sin, cos, tan, cot > 0
        *   第二象限：sin > 0, cos, tan, cot < 0
        *   第三象限：tan, cot > 0, sin, cos < 0
        *   第四象限：cos > 0, sin, tan, cot < 0

## 三、同角三角函数关系

*   **平方关系：**
    *   sin^2α + cos^2α = 1
    *   1 + tan^2α = sec^2α
    *   1 + cot^2α = csc^2α
*   **商的关系：**
    *   tanα = sinα / cosα
    *   cotα = cosα / sinα
*   **倒数关系：**
    *   sinα * cscα = 1
    *   cosα * secα = 1
    *   tanα * cotα = 1

## 四、诱导公式

*   **公式一：**
    *   sin(α + 2kπ) = sinα
    *   cos(α + 2kπ) = cosα
    *   tan(α + 2kπ) = tanα  (k ∈ Z)
*   **公式二：**
    *   sin(-α) = -sinα
    *   cos(-α) = cosα
    *   tan(-α) = -tanα
*   **公式三：**
    *   sin(π + α) = -sinα
    *   cos(π + α) = -cosα
    *   tan(π + α) = tanα
*   **公式四：**
    *   sin(π - α) = sinα
    *   cos(π - α) = -cosα
    *   tan(π - α) = -tanα
*   **公式五、六：**
    *   sin(π/2 - α) = cosα
    *   cos(π/2 - α) = sinα
    *   sin(π/2 + α) = cosα
    *   cos(π/2 + α) = -sinα
*   **口诀：** 奇变偶不变，符号看象限。（针对π/2 ± α, π ± α等形式的角）

## 五、三角函数的图像与性质

*   **正弦函数 y = sinx**
    *   定义域：R
    *   值域：[-1, 1]
    *   周期：T = 2π
    *   奇偶性：奇函数
    *   单调性：
        *   增区间：[-(π/2) + 2kπ, (π/2) + 2kπ] (k ∈ Z)
        *   减区间：[(π/2) + 2kπ, (3π/2) + 2kπ] (k ∈ Z)
    *   对称性：
        *   对称中心：(kπ, 0) (k ∈ Z)
        *   对称轴：x = (π/2) + kπ (k ∈ Z)
*   **余弦函数 y = cosx**
    *   定义域：R
    *   值域：[-1, 1]
    *   周期：T = 2π
    *   奇偶性：偶函数
    *   单调性：
        *   增区间：[-(π) + 2kπ, 2kπ] (k ∈ Z)
        *   减区间：[2kπ, π + 2kπ] (k ∈ Z)
    *   对称性：
        *   对称中心：((π/2) + kπ, 0) (k ∈ Z)
        *   对称轴：x = kπ (k ∈ Z)
*   **正切函数 y = tanx**
    *   定义域：{x | x ≠ (π/2) + kπ, k ∈ Z}
    *   值域：R
    *   周期：T = π
    *   奇偶性：奇函数
    *   单调性：增区间：(-(π/2) + kπ, (π/2) + kπ) (k ∈ Z)
    *   对称中心：(kπ,0)

## 六、函数 y = Asin(ωx + φ)

*   **振幅：** |A|
*   **周期：** T = 2π/|ω|
*   **频率：** f = 1/T = |ω|/2π
*   **相位：** ωx + φ
*   **初相：** φ
*   **图像变换：**
    *   伸缩变换：ω影响横坐标，A影响纵坐标。
    *   平移变换：φ影响横坐标(左加右减)。

## 七、解三角形

*   **正弦定理：** a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R是外接圆半径)
*   **余弦定理：**
    *   a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosA
    *   b^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cosB
    *   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC
*   **面积公式：**
    *   S = (1/2) * bc * sinA = (1/2) * ac * sinB = (1/2) * ab * sinC
    *   S = (1/2) * ah (h是a边上的高)
*   **解三角形的类型：**
    *   已知两角和一边：用正弦定理
    *   已知两边和一边的对角：用正弦定理，注意解的个数
    *   已知两边和夹角：用余弦定理
    *   已知三边：用余弦定理求角

## 八、实际应用

*   测量问题：高度，距离，角度等。
*   物理问题：简谐运动，交流电等。

这份思维导图涵盖了高一数学三角函数的主要内容，包括概念、公式、图像和性质以及应用。通过理解和掌握这些知识点，能够更好地解决三角函数相关问题。

# 《高一数学三角函数思维导图》 ## 一、角度制与弧度制 * **概念：** * 角度制：以度为单位度量角的制度，一周角为360度。 * 弧度制：以弧长等于半径的圆心角为1弧度的制度。 * **转换：** * 180° = π (rad) * 1° = π/180 (rad) * 1 (rad) = 180/π (° ) * **弧长公式：** * l = |α| * r (l:弧长, α:弧度角, r:半径) * **扇形面积公式：** * S = (1/2) * l * r = (1/2) * |α| * r^2 ## 二、三角函数的定义 * **任意角三角函数：** * 设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x, y), r = √(x^2 + y^2) > 0 * 正弦：sinα = y/r * 余弦：cosα = x/r * 正切：tanα = y/x (x ≠ 0) * 余切：cotα = x/y (y ≠ 0) * 正割：secα = r/x (x ≠ 0) * 余割：cscα = r/y (y ≠ 0) * **三角函数线：** * 正弦线：MP * 余弦线：OM * 正切线：AT * **三角函数值的符号：** * 象限角决定正负号： * 第一象限：sin, cos, tan, cot > 0 * 第二象限：sin > 0, cos, tan, cot < 0 * 第三象限：tan, cot > 0, sin, cos < 0 * 第四象限：cos > 0, sin, tan, cot < 0 ## 三、同角三角函数关系 * **平方关系：** * sin^2α + cos^2α = 1 * 1 + tan^2α = sec^2α * 1 + cot^2α = csc^2α * **商的关系：** * tanα = sinα / cosα * cotα = cosα / sinα * **倒数关系：** * sinα * cscα = 1 * cosα * secα = 1 * tanα * cotα = 1 ## 四、诱导公式 * **公式一：** * sin(α + 2kπ) = sinα * cos(α + 2kπ) = cosα * tan(α + 2kπ) = tanα (k ∈ Z) * **公式二：** * sin(-α) = -sinα * cos(-α) = cosα * tan(-α) = -tanα * **公式三：** * sin(π + α) = -sinα * cos(π + α) = -cosα * tan(π + α) = tanα * **公式四：** * sin(π - α) = sinα * cos(π - α) = -cosα * tan(π - α) = -tanα * **公式五、六：** * sin(π/2 - α) = cosα * cos(π/2 - α) = sinα * sin(π/2 + α) = cosα * cos(π/2 + α) = -sinα * **口诀：** 奇变偶不变，符号看象限。（针对π/2 ± α, π ± α等形式的角） ## 五、三角函数的图像与性质 * **正弦函数 y = sinx** * 定义域：R * 值域：[-1, 1] * 周期：T = 2π * 奇偶性：奇函数 * 单调性： * 增区间：[-(π/2) + 2kπ, (π/2) + 2kπ] (k ∈ Z) * 减区间：[(π/2) + 2kπ, (3π/2) + 2kπ] (k ∈ Z) * 对称性： * 对称中心：(kπ, 0) (k ∈ Z) * 对称轴：x = (π/2) + kπ (k ∈ Z) * **余弦函数 y = cosx** * 定义域：R * 值域：[-1, 1] * 周期：T = 2π * 奇偶性：偶函数 * 单调性： * 增区间：[-(π) + 2kπ, 2kπ] (k ∈ Z) * 减区间：[2kπ, π + 2kπ] (k ∈ Z) * 对称性： * 对称中心：((π/2) + kπ, 0) (k ∈ Z) * 对称轴：x = kπ (k ∈ Z) * **正切函数 y = tanx** * 定义域：{x | x ≠ (π/2) + kπ, k ∈ Z} * 值域：R * 周期：T = π * 奇偶性：奇函数 * 单调性：增区间：(-(π/2) + kπ, (π/2) + kπ) (k ∈ Z) * 对称中心：(kπ,0) ## 六、函数 y = Asin(ωx + φ) * **振幅：** |A| * **周期：** T = 2π/|ω| * **频率：** f = 1/T = |ω|/2π * **相位：** ωx + φ * **初相：** φ * **图像变换：** * 伸缩变换：ω影响横坐标，A影响纵坐标。 * 平移变换：φ影响横坐标(左加右减)。 ## 七、解三角形 * **正弦定理：** a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R是外接圆半径) * **余弦定理：** * a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosA * b^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cosB * c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC * **面积公式：** * S = (1/2) * bc * sinA = (1/2) * ac * sinB = (1/2) * ab * sinC * S = (1/2) * ah (h是a边上的高) * **解三角形的类型：** * 已知两角和一边：用正弦定理 * 已知两边和一边的对角：用正弦定理，注意解的个数 * 已知两边和夹角：用余弦定理 * 已知三边：用余弦定理求角 ## 八、实际应用 * 测量问题：高度，距离，角度等。 * 物理问题：简谐运动，交流电等。这份思维导图涵盖了高一数学三角函数的主要内容，包括概念、公式、图像和性质以及应用。通过理解和掌握这些知识点，能够更好地解决三角函数相关问题。

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