《高一函数思维导图》
一、 函数的概念与表示
1.1 函数的定义
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要素：
- 定义域 (D)：自变量 x 的取值范围，集合 A
- 对应关系 (f)：一种确定的对应法则
- 值域 (R)：函数值的集合，集合 B
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本质： 从一个非空数集到另一个非空数集的确定对应关系。
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记法： y = f(x), x ∈ D
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判断是否为函数：
- 定义域非空
- 一个 x 对应唯一的 y
1.2 函数的表示方法
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解析法： 用数学表达式表示函数，例如：y = x^2 + 1
- 优点：精确，便于计算和理论分析。
- 缺点：有时难以找到解析式。
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图像法： 用图像表示函数。
- 优点：直观，形象，便于观察函数的性质。
- 缺点：不精确，不易进行数值计算。
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列表法： 用表格列出对应关系。
- 优点：简单明了，适用于离散数据。
- 缺点：不够全面，只能表示有限个对应关系。
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分段函数： 在不同的定义域区间上，对应不同的解析式。
- 关键：确定每个区间对应的函数表达式和端点值。
- 注意事项：注意端点值的取舍。
1.3 定义域、值域的求法
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定义域：
- 分母不为零
- 偶次根式下大于等于零
- 对数函数真数大于零，底数大于零且不等于1
- 实际问题考虑实际意义
- 三角函数关注tan、cot的定义域
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值域：
- 观察法：简单函数可以直接观察得到
- 配方法：用于二次函数
- 反解法：用于一些复杂函数，反解 x = g(y)，根据 x 的取值范围确定 y 的取值范围
- 换元法：用于一些复合函数
- 判别式法：用于某些分式函数
- 单调性法：利用函数的单调性求值域
二、 函数的基本性质
2.1 单调性
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定义：
- 增函数：若 x1 < x2，则 f(x1) < f(x2)
- 减函数：若 x1 < x2，则 f(x1) > f(x2)
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判断方法：
- 定义法：任取 x1, x2 ∈ D，且 x1 < x2，计算 f(x1) - f(x2) 的符号。
- 导数法：若 f'(x) > 0，则 f(x) 为增函数；若 f'(x) < 0，则 f(x) 为减函数。
- 图像法：观察图像的走向。
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复合函数的单调性： “同增异减”
- y = f(g(x))，若 f(u) 和 g(x) 都是增函数，则 y 是增函数；若 f(u) 是增函数，g(x) 是减函数，则 y 是减函数；反之亦然。
2.2 奇偶性
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定义：
- 偶函数：f(-x) = f(x) （图像关于 y 轴对称）
- 奇函数：f(-x) = -f(x) （图像关于原点对称）
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判断方法：
- 定义法：判断 f(-x) 与 f(x) 的关系。
- 图像法：观察图像的对称性。
- 定义域的特点：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
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奇偶函数的性质：
- 奇函数在对称区间上的单调性相同。
- 偶函数在对称区间上的单调性相反。
- 定义在关于原点对称的区间上的奇函数，必有 f(0) = 0。
2.3 周期性
- 定义： 存在非零常数 T，使得对于定义域内的任何 x，都有 f(x + T) = f(x)，则 f(x) 是周期函数，T 是周期。
- 判断方法：
- 寻找满足 f(x + T) = f(x) 的 T。
- 利用一些特殊形式，例如：f(x + a) = f(x)，则 a 是周期；f(x + a) = -f(x)，则 2a 是周期；f(x + a) = 1/f(x)，则 2a 是周期。
- 周期性的性质： 知道一个周期内的图像，可以推导出整个函数图像。
2.4 对称性
- 图像关于直线 x=a 对称：f(a+x) = f(a-x) 或 f(x) = f(2a-x)
- 图像关于点 (a,0) 对称：f(a+x) = -f(a-x) 或 f(x) = -f(2a-x)
三、 基本初等函数
3.1 指数函数 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)
- 图像： 经过点 (0, 1)， a > 1 时单调递增，0 < a < 1 时单调递减。
- 性质：
- 定义域：R
- 值域：(0, +∞)
- 恒过定点 (0, 1)
- 当 a > 1 时，x > 0，y > 1；x < 0，0 < y < 1
- 当 0 < a < 1 时，x > 0，0 < y < 1；x < 0，y > 1
3.2 对数函数 y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)
- 图像： 经过点 (1, 0)， a > 1 时单调递增，0 < a < 1 时单调递减。
- 性质：
- 定义域：(0, +∞)
- 值域：R
- 恒过定点 (1, 0)
- 当 a > 1 时，x > 1，y > 0；0 < x < 1，y < 0
- 当 0 < a < 1 时，x > 1，y < 0；0 < x < 1，y > 0
- 对数的运算：
- logₐ(MN) = logₐM + logₐN
- logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
- logₐ(Mⁿ) = nlogₐM
- 换底公式：logₐb = logₓb / logₓa
3.3 幂函数 y = xᵃ (α ∈ R)
- 图像： 根据 α 的不同取值，图像有多种形态。
- 性质：
- α > 0 时，过 (0, 0) 和 (1, 1) 点，在 (0, +∞) 上单调递增。
- α < 0 时，在 (0, +∞) 上单调递减，无零点。
- 注意观察 α = 1, 2, 3, 1/2, -1 时的图像和性质。
3.4 三角函数 (高中阶段主要关注sin, cos, tan)
- 正弦函数 y=sinx
- 余弦函数 y=cosx
- 正切函数 y=tanx
- 包括图像、定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等
四、 函数的应用
4.1 函数与方程
- 函数的零点：f(x) = 0 的根。
- 零点存在性定理：若 f(a) * f(b) < 0，则在 (a, b) 内至少存在一个零点。
- 二分法求零点：不断将区间二分，直到找到满足精度要求的零点。
- 图像法：通过观察函数图像与 x 轴的交点，确定零点个数。
4.2 函数建模
- 实际问题抽象成数学问题，建立函数关系式。
- 求解函数模型，并对结果进行解释。
- 注意实际问题的限制条件，例如：定义域的限制。
4.3 不等式的解法
- 利用函数的单调性解不等式。
- 利用函数的图像解不等式。
五、 函数的拓展
5.1 复合函数
- y = f(g(x))，g(x) 的值域是 f(u) 的定义域的子集。
- 求定义域：g(x) 的值域是 f(u) 的定义域。
- 求值域：先求 g(x) 的值域，再求 f(u) 的值域。
- 单调性："同增异减"。
5.2 二次函数
- y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
- 顶点式：y = a(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a
- 对称轴：x = -b/2a
- 顶点坐标：(-b/2a, (4ac - b²)/4a)
- 开口方向：a > 0 时向上，a < 0 时向下。
- 与 x 轴的交点：Δ = b² - 4ac 的符号决定交点个数。
5.3 函数的平移与伸缩变换
- 平移变换：y = f(x) → y = f(x - h) + k （向右平移 h 个单位，向上平移 k 个单位）
- 伸缩变换：y = f(x) → y = Af(ωx) （横坐标变为原来的 1/ω 倍，纵坐标变为原来的 A 倍）
这份思维导图旨在梳理高一函数的主要内容，帮助理解和掌握函数的基本概念、性质和应用。 建议结合课本和习题进行深入学习。