高一函数思维导图

# 《高一函数思维导图》

## 一、 函数的概念与表示

### 1.1 函数的定义

*   **要素：**
    *   定义域 (D)：自变量 x 的取值范围，集合 A
    *   对应关系 (f)：一种确定的对应法则
    *   值域 (R)：函数值的集合，集合 B

*   **本质：** 从一个非空数集到另一个非空数集的确定对应关系。

*   **记法：** y = f(x), x ∈ D

*   **判断是否为函数：**
    *   定义域非空
    *   一个 x 对应唯一的 y

### 1.2 函数的表示方法

*   **解析法：** 用数学表达式表示函数，例如：y = x^2 + 1

*   优点：精确，便于计算和理论分析。
    *   缺点：有时难以找到解析式。

*   **图像法：** 用图像表示函数。

*   优点：直观，形象，便于观察函数的性质。
    *   缺点：不精确，不易进行数值计算。

*   **列表法：** 用表格列出对应关系。

*   优点：简单明了，适用于离散数据。
    *   缺点：不够全面，只能表示有限个对应关系。

*   **分段函数：** 在不同的定义域区间上，对应不同的解析式。

*   关键：确定每个区间对应的函数表达式和端点值。
    *   注意事项：注意端点值的取舍。

### 1.3 定义域、值域的求法

*   **定义域：**
    *   分母不为零
    *   偶次根式下大于等于零
    *   对数函数真数大于零，底数大于零且不等于1
    *   实际问题考虑实际意义
    *   三角函数关注tan、cot的定义域

*   **值域：**
    *   观察法：简单函数可以直接观察得到
    *   配方法：用于二次函数
    *   反解法：用于一些复杂函数，反解 x = g(y)，根据 x 的取值范围确定 y 的取值范围
    *   换元法：用于一些复合函数
    *   判别式法：用于某些分式函数
    *   单调性法：利用函数的单调性求值域

## 二、 函数的基本性质

### 2.1 单调性

*   **定义：**
    *   增函数：若 x1 < x2，则 f(x1) < f(x2)
    *   减函数：若 x1 < x2，则 f(x1) > f(x2)

*   **判断方法：**
    *   定义法：任取 x1, x2 ∈ D，且 x1 < x2，计算 f(x1) - f(x2) 的符号。
    *   导数法：若 f'(x) > 0，则 f(x) 为增函数；若 f'(x) < 0，则 f(x) 为减函数。
    *   图像法：观察图像的走向。

*   **复合函数的单调性：** “同增异减”

*   y = f(g(x))，若 f(u) 和 g(x) 都是增函数，则 y 是增函数；若 f(u) 是增函数，g(x) 是减函数，则 y 是减函数；反之亦然。

### 2.2 奇偶性

*   **定义：**
    *   偶函数：f(-x) = f(x) （图像关于 y 轴对称）
    *   奇函数：f(-x) = -f(x) （图像关于原点对称）

*   **判断方法：**
    *   定义法：判断 f(-x) 与 f(x) 的关系。
    *   图像法：观察图像的对称性。
    *   定义域的特点：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

*   **奇偶函数的性质：**
    *   奇函数在对称区间上的单调性相同。
    *   偶函数在对称区间上的单调性相反。
    *   定义在关于原点对称的区间上的奇函数，必有 f(0) = 0。

### 2.3 周期性

*   **定义：** 存在非零常数 T，使得对于定义域内的任何 x，都有 f(x + T) = f(x)，则 f(x) 是周期函数，T 是周期。
*   **判断方法：**
    *   寻找满足 f(x + T) = f(x) 的 T。
    *   利用一些特殊形式，例如：f(x + a) = f(x)，则 a 是周期；f(x + a) = -f(x)，则 2a 是周期；f(x + a) = 1/f(x)，则 2a 是周期。
*   **周期性的性质：**  知道一个周期内的图像，可以推导出整个函数图像。

### 2.4 对称性

*   图像关于直线 x=a 对称：f(a+x) = f(a-x) 或 f(x) = f(2a-x)
*   图像关于点 (a,0) 对称：f(a+x) = -f(a-x) 或 f(x) = -f(2a-x)

## 三、 基本初等函数

### 3.1 指数函数 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)

*   **图像：** 经过点 (0, 1)， a > 1 时单调递增，0 < a < 1 时单调递减。
*   **性质：**
    *   定义域：R
    *   值域：(0, +∞)
    *   恒过定点 (0, 1)
    *   当 a > 1 时，x > 0，y > 1；x < 0，0 < y < 1
    *   当 0 < a < 1 时，x > 0，0 < y < 1；x < 0，y > 1

### 3.2 对数函数 y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)

*   **图像：** 经过点 (1, 0)， a > 1 时单调递增，0 < a < 1 时单调递减。
*   **性质：**
    *   定义域：(0, +∞)
    *   值域：R
    *   恒过定点 (1, 0)
    *   当 a > 1 时，x > 1，y > 0；0 < x < 1，y < 0
    *   当 0 < a < 1 时，x > 1，y < 0；0 < x < 1，y > 0
*   **对数的运算：**
    *   logₐ(MN) = logₐM + logₐN
    *   logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
    *   logₐ(Mⁿ) = nlogₐM
    *   换底公式：logₐb = logₓb / logₓa

### 3.3 幂函数 y = xᵃ (α ∈ R)

*   **图像：**  根据 α 的不同取值，图像有多种形态。
*   **性质：**
    *   α > 0 时，过 (0, 0) 和 (1, 1) 点，在 (0, +∞) 上单调递增。
    *   α < 0 时，在 (0, +∞) 上单调递减，无零点。
    *   注意观察 α = 1, 2, 3, 1/2, -1 时的图像和性质。

### 3.4 三角函数 (高中阶段主要关注sin, cos, tan)

*   正弦函数 y=sinx
*   余弦函数 y=cosx
*   正切函数 y=tanx
*   包括图像、定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等

## 四、 函数的应用

### 4.1 函数与方程

*   函数的零点：f(x) = 0 的根。
*   零点存在性定理：若 f(a) * f(b) < 0，则在 (a, b) 内至少存在一个零点。
*   二分法求零点：不断将区间二分，直到找到满足精度要求的零点。
*   图像法：通过观察函数图像与 x 轴的交点，确定零点个数。

### 4.2 函数建模

*   实际问题抽象成数学问题，建立函数关系式。
*   求解函数模型，并对结果进行解释。
*   注意实际问题的限制条件，例如：定义域的限制。

### 4.3 不等式的解法

*   利用函数的单调性解不等式。
*   利用函数的图像解不等式。

## 五、 函数的拓展

### 5.1 复合函数

*   y = f(g(x))，g(x) 的值域是 f(u) 的定义域的子集。
*   求定义域：g(x) 的值域是 f(u) 的定义域。
*   求值域：先求 g(x) 的值域，再求 f(u) 的值域。
*   单调性："同增异减"。

### 5.2 二次函数

*   y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
*   顶点式：y = a(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a
*   对称轴：x = -b/2a
*   顶点坐标：(-b/2a, (4ac - b²)/4a)
*   开口方向：a > 0 时向上，a < 0 时向下。
*   与 x 轴的交点：Δ = b² - 4ac 的符号决定交点个数。

### 5.3 函数的平移与伸缩变换

*   平移变换：y = f(x) → y = f(x - h) + k （向右平移 h 个单位，向上平移 k 个单位）
*   伸缩变换：y = f(x) → y = Af(ωx) （横坐标变为原来的 1/ω 倍，纵坐标变为原来的 A 倍）

这份思维导图旨在梳理高一函数的主要内容，帮助理解和掌握函数的基本概念、性质和应用。 建议结合课本和习题进行深入学习。

# 《高一函数思维导图》 ## 一、函数的概念与表示 ### 1.1 函数的定义 * **要素：** * 定义域 (D)：自变量 x 的取值范围，集合 A * 对应关系 (f)：一种确定的对应法则 * 值域 (R)：函数值的集合，集合 B * **本质：** 从一个非空数集到另一个非空数集的确定对应关系。 * **记法：** y = f(x), x ∈ D * **判断是否为函数：** * 定义域非空 * 一个 x 对应唯一的 y ### 1.2 函数的表示方法 * **解析法：** 用数学表达式表示函数，例如：y = x^2 + 1 * 优点：精确，便于计算和理论分析。 * 缺点：有时难以找到解析式。 * **图像法：** 用图像表示函数。 * 优点：直观，形象，便于观察函数的性质。 * 缺点：不精确，不易进行数值计算。 * **列表法：** 用表格列出对应关系。 * 优点：简单明了，适用于离散数据。 * 缺点：不够全面，只能表示有限个对应关系。 * **分段函数：** 在不同的定义域区间上，对应不同的解析式。 * 关键：确定每个区间对应的函数表达式和端点值。 * 注意事项：注意端点值的取舍。 ### 1.3 定义域、值域的求法 * **定义域：** * 分母不为零 * 偶次根式下大于等于零 * 对数函数真数大于零，底数大于零且不等于1 * 实际问题考虑实际意义 * 三角函数关注tan、cot的定义域 * **值域：** * 观察法：简单函数可以直接观察得到 * 配方法：用于二次函数 * 反解法：用于一些复杂函数，反解 x = g(y)，根据 x 的取值范围确定 y 的取值范围 * 换元法：用于一些复合函数 * 判别式法：用于某些分式函数 * 单调性法：利用函数的单调性求值域 ## 二、函数的基本性质 ### 2.1 单调性 * **定义：** * 增函数：若 x1 < x2，则 f(x1) < f(x2) * 减函数：若 x1 < x2，则 f(x1) > f(x2) * **判断方法：** * 定义法：任取 x1, x2 ∈ D，且 x1 < x2，计算 f(x1) - f(x2) 的符号。 * 导数法：若 f'(x) > 0，则 f(x) 为增函数；若 f'(x) < 0，则 f(x) 为减函数。 * 图像法：观察图像的走向。 * **复合函数的单调性：** “同增异减” * y = f(g(x))，若 f(u) 和 g(x) 都是增函数，则 y 是增函数；若 f(u) 是增函数，g(x) 是减函数，则 y 是减函数；反之亦然。 ### 2.2 奇偶性 * **定义：** * 偶函数：f(-x) = f(x) （图像关于 y 轴对称） * 奇函数：f(-x) = -f(x) （图像关于原点对称） * **判断方法：** * 定义法：判断 f(-x) 与 f(x) 的关系。 * 图像法：观察图像的对称性。 * 定义域的特点：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 * **奇偶函数的性质：** * 奇函数在对称区间上的单调性相同。 * 偶函数在对称区间上的单调性相反。 * 定义在关于原点对称的区间上的奇函数，必有 f(0) = 0。 ### 2.3 周期性 * **定义：** 存在非零常数 T，使得对于定义域内的任何 x，都有 f(x + T) = f(x)，则 f(x) 是周期函数，T 是周期。 * **判断方法：** * 寻找满足 f(x + T) = f(x) 的 T。 * 利用一些特殊形式，例如：f(x + a) = f(x)，则 a 是周期；f(x + a) = -f(x)，则 2a 是周期；f(x + a) = 1/f(x)，则 2a 是周期。 * **周期性的性质：** 知道一个周期内的图像，可以推导出整个函数图像。 ### 2.4 对称性 * 图像关于直线 x=a 对称：f(a+x) = f(a-x) 或 f(x) = f(2a-x) * 图像关于点 (a,0) 对称：f(a+x) = -f(a-x) 或 f(x) = -f(2a-x) ## 三、基本初等函数 ### 3.1 指数函数 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) * **图像：** 经过点 (0, 1)， a > 1 时单调递增，0 < a < 1 时单调递减。 * **性质：** * 定义域：R * 值域：(0, +∞) * 恒过定点 (0, 1) * 当 a > 1 时，x > 0，y > 1；x < 0，0 < y < 1 * 当 0 < a < 1 时，x > 0，0 < y < 1；x < 0，y > 1 ### 3.2 对数函数 y = logₐx (a > 0, a ≠ 1) * **图像：** 经过点 (1, 0)， a > 1 时单调递增，0 < a < 1 时单调递减。 * **性质：** * 定义域：(0, +∞) * 值域：R * 恒过定点 (1, 0) * 当 a > 1 时，x > 1，y > 0；0 < x < 1，y < 0 * 当 0 < a < 1 时，x > 1，y < 0；0 < x < 1，y > 0 * **对数的运算：** * logₐ(MN) = logₐM + logₐN * logₐ(M/N) = logₐM - logₐN * logₐ(Mⁿ) = nlogₐM * 换底公式：logₐb = logₓb / logₓa ### 3.3 幂函数 y = xᵃ (α ∈ R) * **图像：** 根据 α 的不同取值，图像有多种形态。 * **性质：** * α > 0 时，过 (0, 0) 和 (1, 1) 点，在 (0, +∞) 上单调递增。 * α < 0 时，在 (0, +∞) 上单调递减，无零点。 * 注意观察 α = 1, 2, 3, 1/2, -1 时的图像和性质。 ### 3.4 三角函数 (高中阶段主要关注sin, cos, tan) * 正弦函数 y=sinx * 余弦函数 y=cosx * 正切函数 y=tanx * 包括图像、定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等 ## 四、函数的应用 ### 4.1 函数与方程 * 函数的零点：f(x) = 0 的根。 * 零点存在性定理：若 f(a) * f(b) < 0，则在 (a, b) 内至少存在一个零点。 * 二分法求零点：不断将区间二分，直到找到满足精度要求的零点。 * 图像法：通过观察函数图像与 x 轴的交点，确定零点个数。 ### 4.2 函数建模 * 实际问题抽象成数学问题，建立函数关系式。 * 求解函数模型，并对结果进行解释。 * 注意实际问题的限制条件，例如：定义域的限制。 ### 4.3 不等式的解法 * 利用函数的单调性解不等式。 * 利用函数的图像解不等式。 ## 五、函数的拓展 ### 5.1 复合函数 * y = f(g(x))，g(x) 的值域是 f(u) 的定义域的子集。 * 求定义域：g(x) 的值域是 f(u) 的定义域。 * 求值域：先求 g(x) 的值域，再求 f(u) 的值域。 * 单调性："同增异减"。 ### 5.2 二次函数 * y = ax² + bx + c (a ≠ 0) * 顶点式：y = a(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a * 对称轴：x = -b/2a * 顶点坐标：(-b/2a, (4ac - b²)/4a) * 开口方向：a > 0 时向上，a < 0 时向下。 * 与 x 轴的交点：Δ = b² - 4ac 的符号决定交点个数。 ### 5.3 函数的平移与伸缩变换 * 平移变换：y = f(x) → y = f(x - h) + k （向右平移 h 个单位，向上平移 k 个单位） * 伸缩变换：y = f(x) → y = Af(ωx) （横坐标变为原来的 1/ω 倍，纵坐标变为原来的 A 倍）这份思维导图旨在梳理高一函数的主要内容，帮助理解和掌握函数的基本概念、性质和应用。建议结合课本和习题进行深入学习。

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