《初一数学有理数思维导图》

中心主题：有理数

• 定义：

  • 整数（正整数、负整数、零）与分数的统称。
  • 能表示成两个整数之比（p/q, q≠0）的数。

• 分类：

  • 按性质分类：
    • 正有理数：大于0的有理数。
      • 正整数：1, 2, 3...
      • 正分数：1/2, 3/4, 5/6...
    • 负有理数：小于0的有理数。
      • 负整数：-1, -2, -3...
      • 负分数：-1/2, -3/4, -5/6...
    • 零：既不是正数也不是负数。
  • 按形式分类：
    • 整数：包括正整数、负整数和零。
    • 分数：包括正分数和负分数。
      • 真分数：分子小于分母的分数。
      • 假分数：分子大于或等于分母的分数。
      • 带分数：整数部分和真分数组成的数。

• 数轴：

  • 定义： 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
  • 要素：
    • 原点：表示数字0的点。
    • 正方向：通常规定向右为正方向。
    • 单位长度：表示数字1的线段的长度。
  • 作用：
    • 直观表示数的大小。
    • 比较数的大小。
    • 体现数形结合的思想。
  • 注意： 所有有理数都可以在数轴上找到对应的点，但数轴上的点不都代表有理数。

• 相反数：

  • 定义： 只有符号不同的两个数，互为相反数。
  • 性质：
    • a的相反数是-a。
    • 0的相反数是0。
    • 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
    • a + (-a) = 0
  • 求解：
    • 已知一个数，求其相反数，只需改变其符号。

• 绝对值：

  • 定义： 在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
  • 性质：
    • |a| ≥ 0 （非负性）
    • |a| = a (当 a ≥ 0 时)
    • |a| = -a (当 a < 0 时)
    • |0| = 0
    • 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 |a| = |-a|
  • 求解：
    • 正数的绝对值是它本身。
    • 负数的绝对值是它的相反数。
    • 0的绝对值是0。
  • 应用： 比较两个负数的大小（绝对值大的负数反而小）。

• 有理数的大小比较：

  • 数轴法： 在数轴上，右边的数总比左边的数大。
  • 性质法：
    • 正数 > 0 > 负数
    • 两个正数，绝对值大的较大。
    • 两个负数，绝对值大的反而小。

• 有理数的运算：

  • 加法：
    • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
    • 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
    • 任何数与0相加，都等于这个数本身。
    • 运算律： 交换律：a + b = b + a；结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
  • 减法：
    • 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b)
  • 乘法：
    • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
    • 任何数与0相乘，都得0。
    • 运算律： 交换律：a × b = b × a；结合律：(a × b) × c = a × (b × c)；分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
  • 除法：
    • 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即 a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
    • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
    • 0除以任何不等于0的数，都得0。
  • 乘方：
    • 定义： 求n个相同因数的积的运算。
    • 记法： aⁿ，其中a是底数，n是指数，aⁿ是幂。
    • 正数的任何次幂都是正数。
    • 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
    • 0的任何正整数次幂都是0。
  • 混合运算：
    • 运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；有括号的，先算括号内的，按照小括号、中括号、大括号的顺序。

• 科学计数法：

  • 定义： 将一个大于10或小于-10的数表示成a × 10ⁿ 的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n为整数。
  • n的确定： n等于原数的小数点向左移动的位数（当原数大于10时）或小数点向右移动，直到变成一个绝对值大于等于1小于10的数所移动的位数。
  • 意义： 方便表示较大的数或较小的数。

• 近似数和有效数字：

  • 近似数： 通过四舍五入等方法得到的与实际数值接近的数。
  • 精确度： 指近似数与准确数的接近程度。
  • 有效数字： 从一个数的左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
  • 科学计数法中的有效数字： 只看a部分的数字。

• 应用：

  • 解决实际生活中的问题，例如：温度变化、盈亏问题、海拔高度等。
  • 为后续学习代数式、方程等内容打下基础。