有理数思维导图
《有理数思维导图》
一、定义
- 有理数: 可以表示成分数 p/q (p, q 为整数且 q ≠ 0) 的数。
二、分类
1. 按定义分
- 整数:
- 正整数：1, 2, 3, ...
- 0
- 负整数：-1, -2, -3, ...
- 分数:
- 正分数：1/2, 3/4, ...
- 负分数：-1/2, -3/4, ...
2. 按性质符号分
- 正有理数: 正整数, 正分数
- 0
- 负有理数: 负整数, 负分数
三、数轴
- 定义: 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
- 要素: 原点、正方向、单位长度。
- 作用: 直观表示有理数的大小和位置。
四、相反数
- 定义: 只有符号不同的两个数。
- 几何意义: 数轴上表示的两个点到原点的距离相等。
- 性质:
五、绝对值
- 定义: 数轴上表示这个数的点到原点的距离。
- 符号表示: |a|
- 计算:
- a > 0, |a| = a
- a = 0, |a| = 0
- a < 0, |a| = -a
- 性质: 绝对值非负，|a| ≥ 0
六、有理数的大小比较
- 数轴法: 数轴上右边的数总比左边的数大。
- 正数 > 0 > 负数
- 两个负数比较绝对值，绝对值大的反而小
七、有理数的运算
1. 加法
- 同号: 取相同的符号，并把绝对值相加。
- 异号: 绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。绝对值相等时，和为 0。
- 加法交换律: a + b = b + a
- 加法结合律: (a + b) + c = a + (b + c)
2. 减法
- 规则: 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 a - b = a + (-b)
3. 乘法
- 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 任何数与 0 相乘都得 0。
- 乘法交换律: a × b = b × a
- 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律: a × (b + c) = a × b + a × c
4. 除法
- 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。 a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何非 0 的数都得 0。
5. 乘方
- 定义: 求 n 个相同因数的积的运算。 aⁿ = a × a × ... × a (n 个 a)
- 底数: a
- 指数: n
- 幂: aⁿ
- 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是0.
6. 运算顺序
- 先乘方，再乘除，最后加减。
- 有括号的先算括号里面的，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
八、科学计数法
- 定义: 将一个绝对值大于 10 或小于 -10 的数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 为整数。
九、近似数与有效数字
- 近似数: 与实际数非常接近的数。
- 精确度: 近似数与准确数的接近程度，一般用四舍五入法确定。
- 有效数字: 从一个数的左边第一个不是 0 的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
