《有理数的思维导图初一》

一、 有理数的概念

• 1.1 定义:
  • 整数与分数的统称
  • 可以表示成 p/q (q≠0) 的数
• 1.2 分类:
  • 按定义分:
    • 整数：
      • 正整数：1, 2, 3, ... (自然数)
      • 0
      • 负整数：-1, -2, -3, ...
    • 分数：
      • 正分数：1/2, 3/4, ...
      • 负分数：-1/2, -3/4, ...
  • 按性质分:
    • 正有理数：正整数和正分数
    • 0
    • 负有理数：负整数和负分数
• 1.3 注意事项:
  • π (圆周率) 不是有理数，是无理数。
  • 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此是有理数。
  • 无限不循环小数是无理数。

二、 数轴

• 2.1 定义:
  • 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
• 2.2 要素:
  • 原点：数轴上表示0的点。
  • 正方向：数轴上规定的方向 (通常是向右)。
  • 单位长度：表示1的线段的长度。
• 2.3 作用:
  • 直观地表示数。
  • 比较数的大小。
  • 体现数形结合的思想。
• 2.4 数轴上的点与有理数的对应关系:
  • 每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
  • 反之，数轴上的每一个点不一定都表示有理数 (例如，表示√2的点)。

三、 相反数

• 3.1 定义:
  • 只有符号不同的两个数互为相反数。
• 3.2 表示:
  • a 的相反数是 -a。
• 3.3 性质:
  • a + (-a) = 0
  • 0 的相反数是 0。
  • 双重符号化简： -(-a) = a
  • 数轴上表示相反数的两个点到原点的距离相等。
• 3.4 几何意义:
  • 数轴上，表示相反数的两个点关于原点对称。

四、 绝对值

• 4.1 定义:
  • 数轴上表示数 a 的点到原点的距离，记作 |a|。
• 4.2 计算:
  • |a| = a (当 a ≥ 0 时)
  • |a| = -a (当 a < 0 时)
• 4.3 性质:
  • |a| ≥ 0 (绝对值非负性)
  • |a| = |-a| (互为相反数的两个数的绝对值相等)
  • 若 |a| = |b|，则 a = b 或 a = -b
  • |a| = 0，则 a = 0
• 4.4 几何意义:
  • 表示数轴上的点到原点的距离。

五、 有理数的大小比较

• 5.1 数轴比较法:
  • 在数轴上，右边的数总比左边的数大。
• 5.2 法则比较法:
  • 正数 > 0 > 负数
  • 两个负数，绝对值大的反而小。
• 5.3 特殊情况:
  • 多个数比较，可借助数轴或法则，分组比较。

六、 有理数的加法

• 6.1 法则:
  • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  • 一个数同0相加，仍得这个数。
• 6.2 运算律:
  • 加法交换律： a + b = b + a
  • 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
• 6.3 简便运算:
  • 凑整法：将能凑成整数的数先加。
  • 同号结合法：将正数和正数结合，负数和负数结合。
  • 相反数结合法：将互为相反数的数先加。

七、 有理数的减法

• 7.1 法则:
  • 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
  • a - b = a + (-b)
• 7.2 注意:
  • 减法运算转化为加法运算。

八、 有理数的乘法

• 8.1 法则:
  • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数同0相乘，都得0。
• 8.2 运算律:
  • 乘法交换律： a × b = b × a
  • 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法分配律： a × (b + c) = a × b + a × c
• 8.3 多个数相乘:
  • 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有偶数个时，积为正数；负因数有奇数个时，积为负数。
  • 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。

九、 有理数的除法

• 9.1 法则:
  • 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
  • a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
  • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。
• 9.2 注意:
  • 除法运算转化为乘法运算。

十、 有理数的乘方

• 10.1 定义:
  • 求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
  • aⁿ (a 为底数，n 为指数)
• 10.2 意义:
  • aⁿ 表示 n 个 a 相乘。
• 10.3 性质:
  • 正数的任何次幂都是正数。
  • 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
  • 0的任何正整数次幂都是0。
• 10.4 特殊值:
  • 任何非零数的0次幂等于1。
  • 1的任何次幂等于1。
  • -1的奇数次幂等于-1，-1的偶数次幂等于1。

十一、 科学计数法

• 11.1 定义:
  • 把一个大于 10 的数表示成 a × 10ⁿ 的形式 (其中 1 ≤ |a| < 10，n 为正整数)，这种计数方法叫做科学计数法。
• 11.2 确定 n:
  • n 等于原数的整数位数减 1。

十二、 近似数与有效数字

• 12.1 近似数:
  • 与实际数值很接近，但略有差异的数。
• 12.2 精确度:
  • 近似数与准确数之间的接近程度。
• 12.3 有效数字:
  • 从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。

十三、 有理数的混合运算

• 13.1 运算顺序:
  • 先乘方，再乘除，最后加减；
  • 同级运算，从左到右进行；
  • 如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行。
• 13.2 注意:
  • 灵活运用运算律，简化运算。
  • 注意符号问题。
  • 运算过程中，注意检查，避免出错。

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