《初一数学思维导图》

I. 数与式

A. 有理数

• 1. 定义：
  • 整数（正整数、0、负整数）
  • 分数（正分数、负分数）
• 2. 数轴：
  • 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线
  • 表示：每个有理数都可以在数轴上找到唯一的点
  • 比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大
• 3. 相反数：
  • 定义：只有符号不同的两个数互为相反数
  • 性质：a的相反数是-a，0的相反数是0
  • 代数意义：a + (-a) = 0
• 4. 绝对值：
  • 几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离
  • 代数意义：
    • |a| = a (a ≥ 0)
    • |a| = -a (a < 0)
  • 非负性：|a| ≥ 0
• 5. 有理数的运算：
  • 加法：
    • 同号相加：取相同的符号，并把绝对值相加
    • 异号相加：绝对值大的减去绝对值小的，取绝对值大的符号
    • 相反数相加：结果为0
    • 加法交换律：a + b = b + a
    • 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
  • 减法：
    • 减去一个数，等于加上这个数的相反数
    • a - b = a + (-b)
  • 乘法：
    • 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
    • 任何数乘以0都等于0
    • 乘法交换律：a × b = b × a
    • 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
    • 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
  • 除法：
    • 除以一个数，等于乘以这个数的倒数
    • a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
    • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
    • 0除以任何非0的数都等于0
  • 乘方：
    • 定义：求n个相同因数的积的运算
    • an：a的n次方，a是底数，n是指数
    • 正数的任何次幂都是正数
    • 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
    • 0的任何正整数次幂都是0
  • 混合运算：
    • 先算乘方，再算乘除，最后算加减
    • 有括号先算括号里的，先算小括号，再算中括号，最后算大括号
• 6. 科学计数法：
  • 表示：a × 10n (1 ≤ |a| < 10, n为整数)
• 7. 近似数与有效数字：
  • 近似数：与实际数字接近的数
  • 有效数字：从左边第一个非零数字起，到精确到的位数为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字

B. 代数式

• 1. 代数式：
  • 定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子
  • 单独一个数或一个字母也是代数式
• 2. 单项式：
  • 定义：由数与字母的积组成的代数式
  • 系数：单项式中的数字因数
  • 次数：单项式中所有字母的指数的和
• 3. 多项式：
  • 定义：几个单项式的和组成的代数式
  • 项：多项式中的每个单项式
  • 常数项：不含字母的项
  • 次数：多项式中次数最高的项的次数
• 4. 整式：
  • 单项式和多项式统称为整式
• 5. 同类项：
  • 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
  • 合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变
• 6. 去括号与添括号：
  • 去括号：
    • 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号
    • 括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号
  • 添括号：
    • 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号
    • 添括号后，括号前面是“—”号，括到括号里的各项都改变符号
• 7. 代数式求值：
  • 先化简，再代入求值

II. 方程

A. 一元一次方程

• 1. 方程：
  • 定义：含有未知数的等式
• 2. 一元一次方程：
  • 定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程
  • 标准形式：ax + b = 0 (a ≠ 0)
• 3. 方程的解：
  • 使方程左右两边相等的未知数的值
• 4. 解方程：
  • 找出方程的解的过程
• 5. 等式的性质：
  • 等式两边同时加上或减去同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式
  • 等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，所得结果仍是等式
• 6. 解一元一次方程的步骤：
  • 去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数
  • 去括号：注意括号前的系数和符号
  • 移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边，移项要改变符号
  • 合并同类项：把方程化为ax = b的形式
  • 系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a
• 7. 列方程解应用题：
  • 审题：弄清题意，找出已知条件和未知数，分析数量关系
  • 设未知数：一般直接设要求的量为未知数，也可以间接设
  • 列方程：根据数量关系列出方程
  • 解方程：解出所列的方程
  • 检验：检验解是否符合题意
  • 答：写出答案，注意带单位

III. 图形初步认识

A. 线段、射线、直线

• 1. 直线：
  • 定义：向两方无限延伸的线
  • 表示：用一个小写字母表示，如直线l；用直线上的两个点表示，如直线AB
  • 性质：两点确定一条直线
• 2. 射线：
  • 定义：将直线向一方无限延伸的线
  • 表示：用端点和射线上的另一点表示，如射线OA，注意端点字母在前
• 3. 线段：
  • 定义：直线上的两点及其之间的部分
  • 表示：用两个端点表示，如线段AB；用一个小写字母表示，如线段a
  • 性质：两点之间，线段最短
• 4. 线段的比较与测量：
  • 叠合法
  • 刻度尺测量法
• 5. 线段的中点：
  • 定义：把一条线段分成两条相等线段的点
  • 性质：中点分线段所成的两条线段相等
• 6. 角：
  • 定义：由两条有公共端点的射线组成的图形
  • 表示：用三个大写字母表示，如∠AOB；用一个大写字母表示，如∠O；用一个希腊字母表示，如∠α；用数字表示，如∠1
• 7. 角的度量：
  • 度、分、秒：1° = 60'，1' = 60''
• 8. 角的分类：
  • 锐角：小于90°的角
  • 直角：等于90°的角
  • 钝角：大于90°小于180°的角
  • 平角：等于180°的角
  • 周角：等于360°的角
• 9. 角的平分线：
  • 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线
  • 性质：角平分线将角分成两个相等的角
• 10. 余角和补角：
  • 余角：如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角
  • 补角：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角
  • 性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等

这三个部分涵盖了初一数学的主要内容，思维导图的形式更适合学生理解和记忆知识点。 可以根据需要进一步细化每个部分的子分支，例如，在“列方程解应用题”下面，可以列出常见的题型（行程问题、工程问题、利润问题、储蓄问题等），并配以例题，使思维导图更加完整和实用。