《高一数学必修一人教版三角函数思维导图》

一、角的概念的推广

• 1.1 任意角与弧度制

  • 核心概念:
    • 正角：按逆时针方向旋转形成的角
    • 负角：按顺时针方向旋转形成的角
    • 零角：没有经过任何旋转形成的角
    • 象限角：角的终边落在第几象限，就称其为第几象限角
    • 终边相同的角：与角α终边相同的角的集合表示：{β | β = α + k·360°, k ∈ Z}
  • 弧度制:
    • 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角
    • 角度与弧度的换算：
      • 180° = π rad
      • 1° = π/180 rad
      • 1 rad = (180/π)°
    • 弧长公式：l = |α|r (α为弧度)
    • 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
  • 注意事项:
    • 区分象限角和终边相同的角
    • 注意弧度制下的角的表示

二、三角函数的定义

• 2.1 三角函数的概念

  • 定义:

    • 设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x, y)，r = √(x² + y²) > 0
    • 正弦函数：sin α = y/r
    • 余弦函数：cos α = x/r
    • 正切函数：tan α = y/x (x ≠ 0)
    • 余切函数：cot α = x/y (y ≠ 0)
    • 正割函数：sec α = r/x (x ≠ 0) (高中阶段不重点考察)
    • 余割函数：csc α = r/y (y ≠ 0) (高中阶段不重点考察)

  • 三角函数线:

    • 单位圆：以坐标原点为圆心，单位长度为半径的圆
    • 正弦线：有向线段MP，表示sinα的值
    • 余弦线：有向线段OM，表示cosα的值
    • 正切线：有向线段AT，表示tanα的值

  • 各象限三角函数的符号:

    • 一全正，二正弦，三正切，四余弦

  • 特殊角的三角函数值:

    • 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360° 的正弦、余弦、正切值 (需要熟练记忆)

• 2.2 同角三角函数的基本关系

  • 平方关系:
    • sin²α + cos²α = 1
  • 商数关系:
    • tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0)
    • cot α = cos α / sin α (sin α ≠ 0)
  • 倒数关系:
    • tan α · cot α = 1
    • sin α · csc α = 1
    • cos α · sec α = 1
  • 变形应用:
    • sin α = ±√(1 - cos²α) ， cos α = ±√(1 - sin²α) (根据α所在象限确定符号)
    • sin α + cos α , sin α - cos α , sin α cos α 三者知一可求二 (整体代换思想的应用)

三、三角函数的诱导公式

• 3.1 诱导公式

  • 诱导公式一:

    • sin(α + 2kπ) = sin α
    • cos(α + 2kπ) = cos α
    • tan(α + 2kπ) = tan α (k ∈ Z)

  • 诱导公式二:

    • sin(π + α) = -sin α
    • cos(π + α) = -cos α
    • tan(π + α) = tan α

  • 诱导公式三:

    • sin(-α) = -sin α
    • cos(-α) = cos α
    • tan(-α) = -tan α

  • 诱导公式四:

    • sin(π - α) = sin α
    • cos(π - α) = -cos α
    • tan(π - α) = -tan α

  • 诱导公式五:

    • sin(π/2 - α) = cos α
    • cos(π/2 - α) = sin α

  • 诱导公式六:

    • sin(π/2 + α) = cos α
    • cos(π/2 + α) = -sin α

  • 记忆口诀: 奇变偶不变，符号看象限 (π/2的奇数倍时函数名称变化，偶数倍时不变；符号看原函数所在象限的符号)

四、三角函数的图像与性质

• 4.1 正弦函数的图像与性质

  • 图像: y = sin x, x ∈ R (正弦曲线)
  • 性质:
    • 定义域：R
    • 值域：[-1, 1]
    • 最大值：1 (当 x = 2kπ + π/2 时取得, k ∈ Z)
    • 最小值：-1 (当 x = 2kπ - π/2 时取得, k ∈ Z)
    • 周期性：T = 2π (最小正周期)
    • 奇偶性：奇函数
    • 单调性：
      • 单调递增区间：[2kπ - π/2, 2kπ + π/2] (k ∈ Z)
      • 单调递减区间：[2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2] (k ∈ Z)
    • 对称性：
      • 对称轴：x = kπ + π/2 (k ∈ Z)
      • 对称中心：(kπ, 0) (k ∈ Z)

• 4.2 余弦函数的图像与性质

  • 图像: y = cos x, x ∈ R (余弦曲线)
  • 性质:
    • 定义域：R
    • 值域：[-1, 1]
    • 最大值：1 (当 x = 2kπ 时取得, k ∈ Z)
    • 最小值：-1 (当 x = 2kπ + π 时取得, k ∈ Z)
    • 周期性：T = 2π (最小正周期)
    • 奇偶性：偶函数
    • 单调性：
      • 单调递增区间：[2kπ - π, 2kπ] (k ∈ Z)
      • 单调递减区间：[2kπ, 2kπ + π] (k ∈ Z)
    • 对称性：
      • 对称轴：x = kπ (k ∈ Z)
      • 对称中心：(kπ + π/2, 0) (k ∈ Z)

• 4.3 正切函数的图像与性质

  • 图像: y = tan x, x ≠ kπ + π/2, k ∈ Z (正切曲线)
  • 性质:
    • 定义域：{x | x ≠ kπ + π/2, k ∈ Z}
    • 值域：R
    • 周期性：T = π (最小正周期)
    • 奇偶性：奇函数
    • 单调性：单调递增区间：(kπ - π/2, kπ + π/2) (k ∈ Z)
    • 无最大值和最小值
    • 对称中心：(kπ/2, 0) (k ∈ Z)

• 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质

  • 图像变换:
    • 振幅变换：A的变化 (纵坐标伸缩)
    • 周期变换：ω的变化 (横坐标伸缩)
    • 相位变换：φ的变化 (横坐标平移)
    • 垂直位移：函数整体上下平移
  • 性质:
    • 值域：[-|A|, |A|]
    • 周期：T = 2π/|ω|
    • 频率：f = 1/T = |ω|/2π
    • 相位：ωx + φ
    • 初相：φ
    • 求单调区间：将ωx + φ看成整体，利用正弦函数的单调区间求解
    • 对称中心和对称轴：与标准正弦函数类似，由φ的变化产生平移

五、三角函数的应用

• 5.1 简单三角恒等变换 (后续学习内容)

  • 和角公式，差角公式，倍角公式，半角公式，积化和差，和差化积 等 (此处仅提及，不深入展开)

• 5.2 三角函数模型的简单应用 (建模思想)

  • 根据实际问题建立三角函数模型
  • 分析模型，确定参数
  • 解决实际问题
  • 常见模型：
    • 简谐运动模型：y = Asin(ωx + φ)
    • 其他周期性变化的模型

六、总结

• 牢固掌握三角函数的定义、图像和性质是关键
• 熟练运用诱导公式和同角三角函数关系进行化简和求值
• 注意三角函数模型的应用，培养建模思想
• 多做练习，熟能生巧