《数学高一函数思维导图》

一、函数概念与表示

1.1 集合与常用逻辑用语复习（铺垫）

• 1.1.1 集合
  • 定义：一些确定对象的总体。
  • 表示方法：列举法、描述法、Venn图。
  • 集合关系：包含、真包含、相等。
  • 集合运算：并集、交集、补集。
  • 空集：∅（任何集合的子集，任何非空集合的真子集）。
• 1.1.2 常用逻辑用语
  • 命题：能判断真假的语句。
  • 逻辑联结词：且(∧)、或(∨)、非(¬)。
  • 四种命题及其关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
    • 原命题与逆否命题等价。
    • 逆命题与否命题等价。
  • 全称量词(∀)与存在量词(∃)。
    • 全称命题的否定是存在命题。
    • 存在命题的否定是全称命题。
  • 必要条件、充分条件、充要条件。
    • p => q，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
    • p <=> q，p是q的充要条件。

1.2 函数的概念

• 1.2.1 函数的定义
  • 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
  • A称为定义域，记作D(f)。
  • f(x)称为函数值。
  • 集合{y|y=f(x)，x∈A}称为值域，记作R(f)。
• 1.2.2 函数的表示方法
  • 解析法：用数学表达式表示函数关系。
    • 优点：明确函数关系，便于计算函数值。
    • 缺点：不是所有函数都有解析式。
  • 图像法：用图像表示函数关系。
    • 优点：直观，反映函数的变化趋势。
    • 缺点：精度受限。
  • 列表法：用表格表示函数关系。
    • 优点：简单明了，易于查阅。
    • 缺点：只能表示离散的点。
• 1.2.3 函数的定义域
  • 使函数有意义的x的取值范围。
  • 求定义域的常见类型：
    • 分母不为零。
    • 偶次根式下非负。
    • 对数真数为正，底数不为1且大于0。
    • 零指数幂底数不为零。
    • 实际问题结合实际意义。

二、函数的性质

2.1 函数的单调性

• 2.1.1 单调性的定义
  • 增函数：在定义域内，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)。
  • 减函数：在定义域内，若x1<x2，则f(x1)>f(x2)。
• 2.1.2 单调性的判断
  • 定义法：
    • 取值：在定义域内取x1，x2，且x1<x2。
    • 作差：计算f(x1)-f(x2)的符号。
    • 判断：根据符号判断单调性。
  • 导数法（仅限可导函数，高二学习）：
    • f'(x)>0，则函数为增函数。
    • f'(x)<0，则函数为减函数。
  • 复合函数的单调性：同增异减。
• 2.1.3 单调性的应用
  • 比较大小。
  • 求最值。
  • 解不等式。

2.2 函数的奇偶性

• 2.2.1 奇偶性的定义
  • 奇函数：f(-x) = -f(x)，定义域关于原点对称。图像关于原点对称。
  • 偶函数：f(-x) = f(x)，定义域关于原点对称。图像关于y轴对称。
  • 若f(x)的定义域关于原点不对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
  • 既是奇函数又是偶函数的函数：f(x) = 0 (前提：定义域关于原点对称)
• 2.2.2 奇偶性的判断
  • 定义法：判断f(-x)与f(x)的关系。
  • 图像法：观察图像是否关于原点或y轴对称。
• 2.2.3 奇偶性的应用
  • 简化函数表达式。
  • 已知部分图像，求另一部分图像。
  • 求函数值。

2.3 函数的周期性

• 2.3.1 周期性的定义
  • 若存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T为周期。
  • 最小正周期：所有正周期中最小的一个。
• 2.3.2 周期性的判断
  • f(x+T)=f(x)。
  • f(x+T)=-f(x), 2T是一个周期
  • f(x+T) = 1/f(x)，2T 是一个周期。
• 2.3.3 周期性的应用
  • 求函数值。
  • 简化函数图像。

三、基本初等函数

3.1 指数函数

• 3.1.1 指数函数的定义
  • y = a^x (a>0且a≠1)。
  • 定义域：R。
  • 值域：(0, +∞)。
• 3.1.2 指数函数的图像与性质
  • a>1时，y=a^x是增函数，图像过(0,1)点，在x轴上方。
  • 0<a<1时，y=a^x是减函数，图像过(0,1)点，在x轴上方。
• 3.1.3 指数运算
  • 同底数幂的乘法、除法。
  • 幂的乘方、积的乘方。
  • 指数函数的性质用于比较大小、解方程/不等式。

3.2 对数函数

• 3.2.1 对数函数的定义
  • y = log_a(x) (a>0且a≠1)。
  • 定义域：(0, +∞)。
  • 值域：R。
• 3.2.2 对数函数的图像与性质
  • a>1时，y=log_a(x)是增函数，图像过(1,0)点，在y轴右侧。
  • 0<a<1时，y=log_a(x)是减函数，图像过(1,0)点，在y轴右侧。
• 3.2.3 对数运算
  • 对数恒等式。
  • 换底公式。
  • 对数的运算性质：log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)，log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)，log_a(M^n) = n*log_a(M)。
• 3.2.4 指数函数与对数函数的关系
  • 互为反函数。
  • 图像关于y=x对称。

3.3 幂函数

• 3.3.1 幂函数的定义
  • y = x^α (α∈R)。
  • 定义域与值域与α有关。
• 3.3.2 常见的幂函数及其图像与性质
  • y=x, y=x^2, y=x^3, y=1/x, y=√x的图像和性质（奇偶性、单调性、过定点等）。
• 3.3.3 幂函数的应用
  • 比较大小。

四、函数的应用

4.1 函数与方程

• 4.1.1 函数零点的概念
  • 使f(x)=0的x值。
  • 图像与x轴的交点。
• 4.1.2 函数零点的存在性定理
  • 若f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一个零点。
• 4.1.3 二分法求方程的近似解
  • 确定区间[a,b]，使得f(a)f(b)<0。
  • 求区间中点c，计算f(c)。
  • 若f(a)f(c)<0，则令b=c；若f(b)f(c)<0，则令a=c。
  • 重复以上步骤，直到满足精度要求。

4.2 函数模型及其应用

• 4.2.1 常见的函数模型
  • 一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型。
• 4.2.2 函数模型的选择
  • 根据实际问题的背景选择合适的函数模型。
  • 利用已知数据确定函数模型的参数。
• 4.2.3 函数模型的应用
  • 解决实际问题，如增长率问题、利润最大化问题等。