《数学八上13章思维导图》

中心主题：三角形

一级分支：三角形的性质

• 概念：
  • 定义：三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。
  • 要素：顶点、边、角。
  • 分类：
    • 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
    • 按边分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形）。
• 边与角的关系：
  • 三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
  • 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180度。
  • 三角形外角性质：
    • 外角的定义：三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角。
    • 外角的性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
    • 外角的性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
• 重要线段：
  • 中线：三角形一个顶点到对边中点的连线。
    • 性质：三角形的三条中线交于一点（重心）。
  • 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。
    • 性质：三角形的三条角平分线交于一点（内心）。内心到三边距离相等。
  • 高线：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
    • 性质：三角形的三条高线所在直线交于一点（垂心）。
• 稳定性：
  • 三角形具有稳定性。
  • 应用：生活中的三角形结构（桥梁、屋顶）。

一级分支：全等三角形

• 概念：
  • 定义：能够完全重合的两个三角形。
  • 对应顶点、对应边、对应角。
  • 表示法：≌ （注意对应顶点的顺序）
• 性质：
  • 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
• 判定方法：
  • SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
  • SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
  • ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
  • AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
  • HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
• 证明思路：
  • 找条件：
    • 已知条件
    • 隐含条件（公共边、公共角、对顶角）
    • 利用已知图形的性质
  • 确定判定方法
  • 规范书写证明过程
• 应用：
  • 证明线段相等、角相等
  • 构造全等三角形解决实际问题
  • 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

一级分支：轴对称

• 概念：
  • 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
  • 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称。
• 性质：
  • 关于某直线对称的两个图形是全等形。
  • 对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
  • 对称轴是对应点连线段的垂直平分线。
• 特殊图形的轴对称性：
  • 线段：线段是轴对称图形，对称轴是这条线段的垂直平分线。
  • 角：角是轴对称图形，对称轴是这个角的角平分线所在的直线。
  • 等腰三角形：是轴对称图形，对称轴是底边上的中线（也是底边上的高线、顶角的角平分线）。
  • 等边三角形：是轴对称图形，有三条对称轴，分别是三条高线所在的直线。
  • 矩形：是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两组对边中点的连线。
  • 菱形：是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线。
  • 正方形：是轴对称图形，有四条对称轴，分别是两组对边中点的连线和两条对角线所在的直线。
  • 圆：是轴对称图形，有无数条对称轴，每一条经过圆心的直线都是它的对称轴。
• 线段的垂直平分线的性质：
  • 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
  • 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
• 作轴对称图形：
  • 找出关键点。
  • 分别作出这些点关于对称轴的对称点。
  • 连接这些对称点，得到所求图形。
• 等腰三角形：
  • 定义：有两条边相等的三角形。
  • 性质：
    • 两腰相等。
    • 两底角相等（等边对等角）。
    • 顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）。
  • 判定：
    • 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
    • 有两条边相等的三角形是等腰三角形。
• 等边三角形：
  • 定义：三条边都相等的三角形。
  • 性质：
    • 三条边都相等。
    • 三个角都相等，都等于60度。
    • 三条高线、三条中线、三条角平分线都重合。

一级分支：作图

• 基本作图：
  • 作一条线段等于已知线段。
  • 作一个角等于已知角。
  • 作角平分线。
  • 作线段的垂直平分线。
  • 过一点作已知直线的垂线。
• 复杂作图：
  • 利用基本作图进行组合。
  • 分析作图步骤。
  • 明确作图依据（全等三角形、轴对称等）。

一级分支：补充内容 (易错点，难点)

• 三角形的稳定性：强调是形状和大小唯一确定，不是说绝对不动。
• 全等三角形的对应关系：找准对应关系是关键，可以旋转、翻折、平移辅助判断。
• 等腰三角形的分类讨论：注意顶角和底角区分，避免遗漏。
• 轴对称图形的对称轴：对称轴是一条直线，不是线段或射线。
• 线段的垂直平分线和角平分线的综合应用：利用性质进行转化。
• 利用全等三角形证明线段垂直，利用角平分线构造全等三角形。
• 作图题的步骤规范性：保留作图痕迹，标明所作图形。
• 三角形三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形。
• 三角形内角和定理的变形应用：例如，已知两角求第三角，或利用外角性质。
• 易错题型：涉及到分类讨论，多个知识点综合，复杂图形的全等三角形判定。

此思维导图较为详细地梳理了八年级上册第十三章三角形的主要知识点，并强调了部分易错点和难点，有助于学生更好地理解和掌握本章内容。