七下数学每章思维导图

# 《七下数学每章思维导图》

## 第一章：整式的乘除

### 1.1 同底数幂的乘法

* **定义:** am · an = am+n (m,n为正整数)
* **法则:** 底数不变，指数相加
* **推广:** am · an · ap = am+n+p
* **应用:**
 * 简化计算
 * 解决实际问题，如天文距离计算

### 1.2 幂的乘方与积的乘方

* **幂的乘方:** (am)n = amn (m,n为正整数)
 * 法则：底数不变，指数相乘
* **积的乘方:** (ab)n = anbn (n为正整数)
 * 法则：积的每一个因式分别乘方
* **混合运算:** 注意运算顺序，先算乘方，再算乘除

### 1.3 同底数幂的除法

* **定义:** am ÷ an = am-n (a≠0, m,n为正整数，且m>n)
* **法则:** 底数不变，指数相减
* **零指数幂:** a0 = 1 (a≠0)
* **负整数指数幂:** a-p = 1/ap (a≠0, p为正整数)
* **应用:** 科学计数法中的负指数

### 1.4 整式的乘法

*   **单项式乘以单项式:** 系数相乘，相同字母的幂相乘，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
*   **单项式乘以多项式:**  m(a+b+c) = ma + mb + mc
    *   先把单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加
*   **多项式乘以多项式:** (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
    *   先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
*   **注意:**  不重不漏，化简结果

### 1.5 平方差公式

* **公式:** (a+b)(a-b) = a2 - b2
* **特征:**
 * 两数和乘以这两数的差
 * 结果为两数的平方差
* **应用:** 简化计算，因式分解的基础

### 1.6 完全平方公式

* **公式:** (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
* **特征:**
 * 两数和（或差）的平方
 * 结果为两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍
* **应用:** 简化计算，因式分解的基础

### 1.7 整式的除法

*   **单项式除以单项式:** 系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。
*   **多项式除以单项式:** (am+bm+cm) ÷ m = a + b + c (m≠0)
    *   先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加

## 第二章：相交线与平行线

### 2.1 相交线

*   **邻补角:** 有公共顶点，一条边公共，另一边互为反向延长线
*   **对顶角:** 有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线；对顶角相等
*   **垂直:** 两条直线相交成直角，互相垂直；垂直的符号：⊥；垂线段最短
*   **点到直线的距离:** 直线外一点到直线的垂线段的长度

### 2.2 平行线及其判定

*   **平行线:** 在同一平面内，不相交的两条直线
*   **平行公理及其推论:**
    *   经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
    *   如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
*   **平行线的判定:**
    *   同位角相等，两直线平行
    *   内错角相等，两直线平行
    *   同旁内角互补，两直线平行

### 2.3 平行线的性质

*   **平行线的性质:**
    *   两直线平行，同位角相等
    *   两直线平行，内错角相等
    *   两直线平行，同旁内角互补
*   **应用:**  求角度，证明几何题

### 2.4 平移

*   **平移的定义:**  在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
*   **平移的性质:**
    *   平移不改变图形的形状和大小
    *   平移后，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等
    *   平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等
    *   平移后，对应角相等

## 第三章：三角形

### 3.1 与三角形有关的线段

*   **三角形的定义:** 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
*   **三角形的分类:**
    *   按角分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
    *   按边分：不等边三角形，等腰三角形（等边三角形）
*   **三角形的边角关系:**
    *   三角形任意两边之和大于第三边
    *   三角形任意两边之差小于第三边
*   **三角形的高、中线、角平分线:**
    *   高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段
    *   中线：连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段
    *   角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点间的线段

### 3.2 与三角形有关的角

*   **三角形的内角和:** 三角形三个内角的和等于180°
*   **三角形的外角:** 三角形的一边与另一边的延长线组成的角
*   **三角形外角的性质:**
    *   三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
    *   三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
*   **多边形的内角和:** (n-2)×180°  (n为边数)
*   **多边形的外角和:** 360°

### 3.3 多边形及其内角和

*   **多边形的定义:** 由在同一平面内的一些线段首尾顺次相接组成的图形
*   **正多边形:** 各边都相等，各角都相等的多边形
*   **多边形的对角线:** 连接多边形不相邻的两个顶点的线段
*   **n边形对角线条数:** n(n-3)/2

## 第四章：变量之间的关系

### 4.1 变量与函数

*   **变量:** 在一个变化过程中可以取不同数值的量。
*   **常量:** 在一个变化过程中数值始终不变的量。
*   **自变量:**  主动发生变化的量，通常用x表示。
*   **因变量:** 随着自变量变化而变化的量，通常用y表示。
*   **函数:**  一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

### 4.2 函数的图象

*   **函数图象的定义:**  把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形就是这个函数的图象。
*   **表示函数的三种方法:**
    *   列表法
    *   关系式法（解析式法）
    *   图象法
*   **图象的应用:**  从图象上获取信息，解决实际问题。

### 4.3 用关系式表示变量间关系

*   **用关系式表示函数的优点:** 可以准确地表示变量间的关系。
*   **注意:** 实际问题中自变量的取值范围。
*   **应用:** 建立数学模型，解决实际问题。

《七下数学每章思维导图》

第一章：整式的乘除

1.1 同底数幂的乘法

定义: a^m · aⁿ = a^m+n (m,n为正整数)
法则: 底数不变，指数相加
推广: a^m · aⁿ · a^p = a^m+n+p
应用:
- 简化计算
- 解决实际问题，如天文距离计算

1.2 幂的乘方与积的乘方

幂的乘方: (a^m)ⁿ = a^mn (m,n为正整数)
- 法则：底数不变，指数相乘
积的乘方: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n为正整数)
- 法则：积的每一个因式分别乘方
混合运算: 注意运算顺序，先算乘方，再算乘除

1.3 同底数幂的除法

定义: a^m ÷ aⁿ = a^m-n (a≠0, m,n为正整数，且m>n)
法则: 底数不变，指数相减
零指数幂: a⁰ = 1 (a≠0)
负整数指数幂: a^-p = 1/a^p (a≠0, p为正整数)
应用: 科学计数法中的负指数

1.4 整式的乘法

单项式乘以单项式: 系数相乘，相同字母的幂相乘，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘以多项式: m(a+b+c) = ma + mb + mc
- 先把单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加
多项式乘以多项式: (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
- 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
注意: 不重不漏，化简结果

1.5 平方差公式

公式: (a+b)(a-b) = a² - b²
特征:
- 两数和乘以这两数的差
- 结果为两数的平方差
应用: 简化计算，因式分解的基础

1.6 完全平方公式

公式: (a+b)² = a² + 2ab + b² ; (a-b)² = a² - 2ab + b²
特征:
- 两数和（或差）的平方
- 结果为两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍
应用: 简化计算，因式分解的基础

1.7 整式的除法

单项式除以单项式: 系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式: (am+bm+cm) ÷ m = a + b + c (m≠0)
- 先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加

第二章：相交线与平行线

2.1 相交线

邻补角: 有公共顶点，一条边公共，另一边互为反向延长线
对顶角: 有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线；对顶角相等
垂直: 两条直线相交成直角，互相垂直；垂直的符号：⊥；垂线段最短
点到直线的距离: 直线外一点到直线的垂线段的长度

2.2 平行线及其判定

平行线: 在同一平面内，不相交的两条直线
平行公理及其推论:
- 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
- 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
平行线的判定:
- 同位角相等，两直线平行
- 内错角相等，两直线平行
- 同旁内角互补，两直线平行

2.3 平行线的性质

平行线的性质:
- 两直线平行，同位角相等
- 两直线平行，内错角相等
- 两直线平行，同旁内角互补
应用: 求角度，证明几何题

2.4 平移

平移的定义: 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
平移的性质:
- 平移不改变图形的形状和大小
- 平移后，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等
- 平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等
- 平移后，对应角相等

第三章：三角形

3.1 与三角形有关的线段

三角形的定义: 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
三角形的分类:
- 按角分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
- 按边分：不等边三角形，等腰三角形（等边三角形）
三角形的边角关系:
- 三角形任意两边之和大于第三边
- 三角形任意两边之差小于第三边
三角形的高、中线、角平分线:
- 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段
- 中线：连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段
- 角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点间的线段

3.2 与三角形有关的角

三角形的内角和: 三角形三个内角的和等于180°
三角形的外角: 三角形的一边与另一边的延长线组成的角
三角形外角的性质:
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
多边形的内角和: (n-2)×180° (n为边数)
多边形的外角和: 360°

3.3 多边形及其内角和

多边形的定义: 由在同一平面内的一些线段首尾顺次相接组成的图形
正多边形: 各边都相等，各角都相等的多边形
多边形的对角线: 连接多边形不相邻的两个顶点的线段
n边形对角线条数: n(n-3)/2

第四章：变量之间的关系

4.1 变量与函数

变量: 在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量: 在一个变化过程中数值始终不变的量。
自变量: 主动发生变化的量，通常用x表示。
因变量: 随着自变量变化而变化的量，通常用y表示。
函数: 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

4.2 函数的图象

函数图象的定义: 把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形就是这个函数的图象。
表示函数的三种方法:
- 列表法
- 关系式法（解析式法）
- 图象法
图象的应用: 从图象上获取信息，解决实际问题。

4.3 用关系式表示变量间关系

用关系式表示函数的优点: 可以准确地表示变量间的关系。
注意: 实际问题中自变量的取值范围。
应用: 建立数学模型，解决实际问题。

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