《七上数学思维导图分章》

一、有理数

1.1 正数和负数

• 概念：
  • 正数：大于0的数，可加“+”号表示。
  • 负数：小于0的数，必须加“-”号表示。
  • 0：既不是正数，也不是负数。是正数和负数的分界。
• 用途：
  • 表示具有相反意义的量（如：盈利与亏损，上升与下降，增加与减少）。
• 注意：
  • 并非所有带“+”的数都是正数，如“+（-2）”是负数。
  • 并非所有带“-”的数都是负数，如“-(-3)”是正数。

1.2 有理数

• 概念：
  • 整数：正整数、0、负整数。
  • 分数：正分数、负分数。
  • 有理数：整数和分数的统称。可以写成分数形式的数。
• 分类：
  • 按定义分类：
    • 有理数
      • 整数：正整数、0、负整数
      • 分数：正分数、负分数
  • 按性质分类：
    • 有理数
      • 正有理数：正整数、正分数
      • 0
      • 负有理数：负整数、负分数
• 数轴：
  • 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
  • 要素：原点、正方向、单位长度。
  • 作用：形象地表示数，比较数的大小。
• 相反数：
  • 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
  • 性质：a和-a互为相反数，a + (-a) = 0。
  • 0的相反数是0。
• 绝对值：
  • 定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离。
  • 表示：|a|
  • 性质：
    • |a| ≥ 0
    • 正数的绝对值是它本身。
    • 负数的绝对值是它的相反数。
    • 0的绝对值是0。
  • 分类讨论：
    • a > 0，|a| = a
    • a = 0，|a| = 0
    • a < 0，|a| = -a
• 有理数的大小比较：
  • 数轴法：数轴上右边的数总比左边的数大。
  • 正数 > 0 > 负数
  • 两个负数，绝对值大的反而小。

1.3 有理数的加减法

• 加法法则：
  • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
  • 一个数同0相加，仍得这个数。
• 加法运算律：
  • 交换律：a + b = b + a
  • 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
• 减法法则：
  • 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 a - b = a + (-b)
• 加减法混合运算：
  • 统一为加法：利用减法法则将减法转化为加法。
  • 运用加法运算律：简化计算。

1.4 有理数的乘除法

• 乘法法则：
  • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数同0相乘，都得0。
• 乘法运算律：
  • 交换律：a × b = b × a
  • 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
• 倒数：
  • 乘积为1的两个数互为倒数。
  • a的倒数是1/a (a≠0)。
• 除法法则：
  • 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
  • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
• 乘除混合运算：
  • 统一为乘法：利用除法法则将除法转化为乘法。
  • 确定积的符号，再进行绝对值的运算。

1.5 有理数的乘方

• 概念：
  • 乘方：求n个相同因数的积的运算。
  • an：a的n次方（a的n次幂），其中a是底数，n是指数。
• 性质：
  • 正数的任何次幂都是正数。
  • 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
  • 0的任何正整数次幂都是0。
• 科学计数法：
  • 将一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数，等于原数整数部分的位数减1。
• 近似数和有效数字：
  • 近似数：接近准确数，但与准确数略有差别的数。
  • 有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。

1.6 有理数的混合运算

• 运算顺序：
  • 先乘方，再乘除，最后加减。
  • 有括号的先算括号里面的，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。

二、整式的加减

2.1 列代数式

• 代数式：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。单独一个数或一个字母也是代数式。
• 列代数式：
  • 弄清题意，明确数量关系。
  • 用字母表示数量。
  • 按照数量关系列出代数式。

2.2 代数式求值

• 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。
• 求代数式的值：
  • 先代入：用数值代替代数式中的字母。
  • 后计算：按照运算顺序计算结果。
• 整体代入：
  • 将代数式整体代入，简化计算。

2.3 整式

• 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式。单独一个数或一个字母也是单项式。
  • 系数：单项式中的数字因数。
  • 次数：单项式中所有字母的指数和。
• 多项式：几个单项式的和。
  • 项：多项式中的每个单项式。
  • 常数项：不含字母的项。
  • 次数：多项式中次数最高的项的次数。
• 整式：单项式和多项式的统称。

2.4 同类项

• 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
• 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。
• 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

2.5 去括号与添括号

• 去括号法则：
  • 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。
  • 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。
• 添括号法则：
  • 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号。
  • 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。

2.6 整式的加减

• 整式加减的步骤：
  • 去括号：利用去括号法则。
  • 合并同类项：利用合并同类项法则。
• 注意：计算结果要化简到最简。

三、一元一次方程

3.1 从算式到方程

• 方程：含有未知数的等式叫做方程。
• 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程。
• 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
• 解方程：求方程的解的过程。

3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项

• 合并同类项解方程：将方程化为ax=b的形式。
• 移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。
  • 依据：等式的性质1（等式两边加或减同一个数或式子，结果仍然是等式）。
• 解方程步骤：
  • 合并同类项。
  • 移项。
  • 将未知数的系数化为1。

3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母

• 去括号解方程：
  • 依据：去括号法则。
  • 注意：括号前是“-”号时，括号内各项都要变号。
• 去分母解方程：
  • 依据：等式的性质2（等式两边乘或除以同一个不为0的数，结果仍然是等式）。
  • 方法：方程两边同乘各分母的最小公倍数。
  • 注意：不要漏乘不含分母的项；分子是多项式时，要加括号。
• 解方程步骤：
  • 去分母（有时可省略）。
  • 去括号。
  • 移项。
  • 合并同类项。
  • 将未知数的系数化为1。

3.4 实际问题与一元一次方程

• 列方程解应用题：
  • 审题：理解题意，找出已知量和未知量，以及它们之间的关系。
  • 设未知数：用字母表示未知数。
  • 列方程：根据题中的等量关系列出方程。
  • 解方程：求出方程的解。
  • 检验：检验方程的解是否符合题意，并写出答案。
• 常见的等量关系：
  • 行程问题：路程 = 速度 × 时间
  • 工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间
  • 利润问题：利润 = 售价 - 进价
  • 储蓄问题：本息和 = 本金 + 利息

四、图形的初步认识

4.1 多姿多彩的图形

• 立体图形：从不同方向看到的形状可能不同。例如：正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等。
• 平面图形：都在同一平面内的图形。例如：三角形、四边形、圆等。

4.2 线段、射线、直线

• 直线：向两方无限延伸。无端点。
• 射线：向一方无限延伸。一个端点。
• 线段：两个端点。
• 表示方法：
  • 直线：用一个小写字母表示，如直线l；或用两个大写字母表示，如直线AB。
  • 射线：用端点和射线上一点表示，如射线OA。
  • 线段：用两个端点表示，如线段AB。
• 性质：
  • 两点确定一条直线。
  • 两点之间，线段最短。
• 线段的比较：
  • 测量法。
  • 叠合法。
• 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点。

4.3 角的度量

• 角：由两条有公共端点的射线组成的图形。
• 角的表示：
  • 用一个大写字母表示，如∠A。
  • 用三个大写字母表示，如∠BAC，顶点字母要写在中间。
  • 用一个希腊字母表示，如∠α。
  • 用数字表示，如∠1。
• 角的单位：度、分、秒。
  • 1度 = 60分
  • 1分 = 60秒
• 角的分类：
  • 锐角：小于90°的角。
  • 直角：等于90°的角。
  • 钝角：大于90°且小于180°的角。
  • 平角：等于180°的角。
  • 周角：等于360°的角。
• 角的比较：
  • 测量法。
  • 叠合法。
• 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
• 余角和补角：
  • 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角。
  • 如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。
• 性质：
  • 同角或等角的余角相等。
  • 同角或等角的补角相等。

4.4 立体图形的展开与折叠

• 立体图形的展开图：将立体图形沿某些棱剪开，铺平得到的平面图形。
• 正方体的展开图：常见的有“1-4-1”型，“2-3-1”型，“2-2-2”型，“3-3”型。
• 展开图与立体图形的对应关系：根据展开图的形状判断立体图形，或根据立体图形的特征画出展开图。