《数学分析思维导图》
I. 基础概念与预备知识
A. 集合论
1. 集合的概念
- 定义: 一组确定的，互异的，无序的对象。
- 表示: 列举法, 描述法。
- 空集, 全集, 子集, 真子集。
2. 集合的运算
- 并集 (∪): 属于A或属于B的元素。
- 交集 (∩): 属于A且属于B的元素。
- 补集 (∁): 属于全集但不属于A的元素。
- 差集 (A - B): 属于A但不属于B的元素。
3. 映射与函数
- 映射的概念: 定义域, 值域, 对应法则。
- 单射, 满射, 双射。
- 逆映射, 复合映射。
- 函数: 从数集到数集的映射。
- 函数的表示法: 公式法, 图象法, 表格法。
B. 实数理论
1. 实数的定义
- 有理数 (整数, 分数)。
- 无理数 (无限不循环小数)。
- 实数集R的完备性。
2. 实数的性质
- 有序性: 可以比较大小。
- 稠密性: 任意两个实数之间存在无限个实数。
- 连续性: 实数与数轴上的点一一对应。
3. 确界原理
- 上界, 下界, 上确界 (最小上界), 下确界 (最大下界)。
- 确界原理: 有上界的数集必有上确界, 有下界的数集必有下确界。
C. 函数的极限
1. 数列极限
- 定义: 对于任意 ε > 0, 存在 N > 0, 当 n > N 时, |an - a| < ε。
- 数列极限的唯一性, 有界性, 保号性。
- 夹逼准则, 单调有界准则。
- 柯西收敛准则。
2. 函数极限
- 定义 (ε-δ语言): 对于任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 当 0 < |x - x0| < δ 时, |f(x) - A| < ε。
- 单侧极限 (左极限, 右极限)。
- 函数极限的唯一性, 局部有界性, 局部保号性。
- 海涅归结原则 (函数极限与数列极限的关系)。
3. 无穷小量与无穷大量
- 定义: 以0为极限的量为无穷小量, 绝对值趋于无穷的量为无穷大量。
- 无穷小量的性质: 有限个无穷小量的和, 积仍为无穷小量。
- 无穷大量与无穷小量的关系: 互为倒数。
II. 一元函数微积分学
A. 导数与微分
1. 导数的定义
- 定义: f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
- 导数的几何意义: 切线的斜率。
- 导数的物理意义: 变化率。
- 单侧导数 (左导数, 右导数)。
2. 求导法则
- 四则运算: (u+v)' = u' + v', (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v - uv') / v^2
- 复合函数求导: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
- 反函数求导: dy/dx = 1 / (dx/dy)
3. 微分的定义
- 定义: dy = f'(x) dx
- 微分的几何意义: 切线的增量。
- 微分在近似计算中的应用。
B. 导数的应用
1. 函数的单调性
- f'(x) > 0, 函数单调递增。
- f'(x) < 0, 函数单调递减。
2. 函数的极值与最值
- 极值的定义: 极大值, 极小值。
- 极值点的必要条件: f'(x0) = 0 (驻点)。
- 极值点的充分条件: 一阶导数变号, 二阶导数。
- 最值的求法: 比较区间端点值和极值。
3. 函数的凹凸性与拐点
- 凹凸性的定义: 上凸 (凹), 下凸 (凸)。
- 凹凸性的判断: f''(x) > 0, 下凸; f''(x) < 0, 上凸。
- 拐点的定义: 凹凸性发生改变的点。
- 拐点的求法: f''(x) = 0 或 f''(x) 不存在。
4. 洛必达法则
- 0/0 型, ∞/∞ 型。
- 洛必达法则的使用条件。
C. 积分学
1. 不定积分
- 定义: F'(x) = f(x), 则 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。
- 不定积分的性质。
- 基本积分公式。
- 换元积分法, 分部积分法。
2. 定积分
- 定义: 黎曼和的极限。
- 定积分的几何意义: 曲边梯形的面积。
- 定积分的性质。
- 微积分基本定理 (牛顿-莱布尼茨公式)。
3. 定积分的应用
- 面积的计算。
- 体积的计算。
- 弧长的计算。
III. 多元函数微积分学 (简要框架)
A. 基本概念
- 多元函数, 偏导数, 全微分。
- 方向导数, 梯度。
B. 极值问题
- 无条件极值, 条件极值 (拉格朗日乘数法)。
C. 多重积分
- 二重积分, 三重积分。
- 重积分的计算 (化为累次积分)。
IV. 无穷级数 (简要框架)
A. 数项级数
- 收敛, 发散。
- 判别法 (比较判别法, 比值判别法, 根值判别法, 交错级数莱布尼茨判别法)。
B. 函数项级数
- 一致收敛。
- 幂级数, 泰勒级数。
这只是一个简要的思维导图框架，每个部分都可以进一步细化。 学习数学分析的关键在于理解概念，掌握方法，多加练习。