关于数学的思维导图

# 《关于数学的思维导图》

## 一、数学基础

### 1.1 数论

*   **1.1.1 整数**
    *   定义：正整数、零、负整数的集合。
    *   性质：加法、减法、乘法的封闭性。
    *   整除性：因数、倍数、质数、合数、最大公约数（GCD）、最小公倍数（LCM）。
    *   同余：模运算、同余方程。
    *   数论函数：欧拉函数、莫比乌斯函数。
*   **1.1.2 分数与小数**
    *   定义：分数表示部分与整体的关系，小数是分数的另一种表现形式。
    *   运算：加、减、乘、除的法则。
    *   转化：分数与小数之间的转化。
    *   循环小数：循环节、化简。
*   **1.1.3 实数**
    *   定义：有理数和无理数的集合。
    *   性质：完备性、有序性、稠密性。
    *   表示：数轴、区间。
*   **1.1.4 复数**
    *   定义：形如 a + bi 的数，其中 a, b 是实数，i 是虚数单位。
    *   运算：加、减、乘、除的法则。
    *   表示：复平面、极坐标形式。
    *   应用：信号处理、量子力学。

### 1.2 代数

*   **1.2.1 式子**
    *   整式：单项式、多项式、同类项、合并同类项。
    *   分式：分子、分母、最简分式。
    *   根式：平方根、立方根、n次方根。
*   **1.2.2 方程**
    *   线性方程：一元一次方程、二元一次方程组、多元线性方程组。
    *   二次方程：一元二次方程、判别式、韦达定理。
    *   高次方程：因式分解、求根公式。
    *   方程组：消元法、代入法。
*   **1.2.3 不等式**
    *   线性不等式：一元一次不等式、不等式组。
    *   非线性不等式：二次不等式、分式不等式。
    *   不等式性质：基本性质、均值不等式。
*   **1.2.4 函数**
    *   定义：变量之间的关系、定义域、值域。
    *   常见函数：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数。
    *   性质：单调性、奇偶性、周期性。
    *   图像：函数图像的绘制与分析。

### 1.3 几何

*   **1.3.1 平面几何**
    *   基本图形：点、线、面、角。
    *   三角形：分类、性质、相似、全等、面积公式。
    *   四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形。
    *   圆：圆心、半径、直径、弧、弦、切线、圆周角、圆心角。
*   **1.3.2 立体几何**
    *   基本体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球。
    *   体积：体积公式。
    *   表面积：表面积公式。
    *   空间关系：平行、垂直、相交。
*   **1.3.3 解析几何**
    *   坐标系：直角坐标系、极坐标系。
    *   直线：方程、斜率、截距、位置关系。
    *   圆：方程、位置关系。
    *   圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线、定义、性质、方程。

## 二、数学分析

### 2.1 极限与连续

*   **2.1.1 极限**
    *   数列极限：定义、性质、存在准则。
    *   函数极限：定义、性质、单侧极限。
    *   无穷小：定义、阶。
    *   重要极限：lim(x->0) sin(x)/x = 1, lim(x->∞) (1 + 1/x)^x = e。
*   **2.1.2 连续**
    *   函数连续的定义：点连续、区间连续。
    *   间断点：类型。
    *   连续函数的性质：有界性、最值性、介值性。

### 2.2 微分学

*   **2.2.1 导数与微分**
    *   导数：定义、几何意义、物理意义。
    *   导数公式：基本函数导数、求导法则。
    *   微分：定义、几何意义。
*   **2.2.2 导数的应用**
    *   单调性：导数与单调性的关系。
    *   极值：极值点、最值点。
    *   凹凸性：二阶导数与凹凸性的关系。
    *   洛必达法则：计算未定式极限。

### 2.3 积分学

*   **2.3.1 不定积分**
    *   原函数：定义。
    *   不定积分：定义、性质。
    *   积分方法：直接积分法、换元积分法、分部积分法。
*   **2.3.2 定积分**
    *   定义：黎曼和。
    *   性质：线性性、积分区间可加性。
    *   微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式。
*   **2.3.3 定积分的应用**
    *   面积：计算平面图形的面积。
    *   体积：计算旋转体的体积。
    *   弧长：计算曲线的弧长。

### 2.4 无穷级数

*   **2.4.1 数项级数**
    *   收敛与发散：定义。
    *   收敛判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法。
    *   绝对收敛与条件收敛：定义。
*   **2.4.2 函数项级数**
    *   幂级数：收敛半径、收敛区间。
    *   泰勒级数：函数展开为泰勒级数。
    *   傅里叶级数：周期函数展开为傅里叶级数。

## 三、概率统计

### 3.1 概率论

*   **3.1.1 随机事件与概率**
    *   样本空间：定义。
    *   随机事件：定义、运算。
    *   概率：定义、性质、条件概率。
*   **3.1.2 随机变量**
    *   离散型随机变量：概率分布、期望、方差。
    *   连续型随机变量：概率密度函数、期望、方差。
    *   常见分布：二项分布、泊松分布、正态分布。
*   **3.1.3 大数定律与中心极限定理**
    *   大数定律：切比雪夫不等式、辛钦大数定律、伯努利大数定律。
    *   中心极限定理：定义。

### 3.2 数理统计

*   **3.2.1 抽样理论**
    *   总体与样本：定义。
    *   简单随机抽样：定义。
    *   统计量：样本均值、样本方差。
*   **3.2.2 参数估计**
    *   点估计：矩估计、极大似然估计。
    *   区间估计：置信区间。
*   **3.2.3 假设检验**
    *   假设：原假设、备择假设。
    *   显著性水平：定义。
    *   检验统计量：t检验、卡方检验。

## 四、离散数学

### 4.1 集合论

*   **4.1.1 集合**
    *   定义：集合的表示、集合的运算（并、交、补、差）。
    *   关系：子集、真子集、幂集。
*   **4.1.2 关系**
    *   定义：关系的表示、关系的运算（复合、逆）。
    *   性质：自反性、对称性、传递性。
    *   等价关系：定义。
*   **4.1.3 函数**
    *   定义：函数的表示、函数的运算（复合、逆）。
    *   类型：单射、满射、双射。

### 4.2 图论

*   **4.2.1 图**
    *   定义：顶点、边、邻接、度。
    *   类型：有向图、无向图、简单图、完全图。
*   **4.2.2 图的遍历**
    *   深度优先搜索（DFS）。
    *   广度优先搜索（BFS）。
*   **4.2.3 树**
    *   定义：树的性质。
    *   二叉树：完全二叉树、满二叉树。
    *   生成树：最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。

### 4.3 数理逻辑

*   **4.3.1 命题逻辑**
    *   命题：定义。
    *   联结词：否定、合取、析取、蕴含、等价。
    *   真值表：构造真值表。
    *   等价公式：逻辑等价的判断。
*   **4.3.2 谓词逻辑**
    *   谓词：定义。
    *   量词：全称量词、存在量词。
    *   谓词公式：定义。

## 五、数值分析

*   **5.1 插值**
    *   拉格朗日插值。
    *   牛顿插值。
    *   样条插值。
*   **5.2 数值积分**
    *   梯形公式。
    *   辛普森公式。
*   **5.3 线性方程组的数值解法**
    *   高斯消元法。
    *   迭代法 (雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代)。
*   **5.4 非线性方程的数值解法**
    *   二分法。
    *   牛顿迭代法。

《关于数学的思维导图》

一、数学基础

1.1 数论

1.1.1 整数
- 定义：正整数、零、负整数的集合。
- 性质：加法、减法、乘法的封闭性。
- 整除性：因数、倍数、质数、合数、最大公约数（GCD）、最小公倍数（LCM）。
- 同余：模运算、同余方程。
- 数论函数：欧拉函数、莫比乌斯函数。
1.1.2 分数与小数
- 定义：分数表示部分与整体的关系，小数是分数的另一种表现形式。
- 运算：加、减、乘、除的法则。
- 转化：分数与小数之间的转化。
- 循环小数：循环节、化简。
1.1.3 实数
- 定义：有理数和无理数的集合。
- 性质：完备性、有序性、稠密性。
- 表示：数轴、区间。
1.1.4 复数
- 定义：形如 a + bi 的数，其中 a, b 是实数，i 是虚数单位。
- 运算：加、减、乘、除的法则。
- 表示：复平面、极坐标形式。
- 应用：信号处理、量子力学。

1.2 代数

1.2.1 式子
- 整式：单项式、多项式、同类项、合并同类项。
- 分式：分子、分母、最简分式。
- 根式：平方根、立方根、n次方根。
1.2.2 方程
- 线性方程：一元一次方程、二元一次方程组、多元线性方程组。
- 二次方程：一元二次方程、判别式、韦达定理。
- 高次方程：因式分解、求根公式。
- 方程组：消元法、代入法。
1.2.3 不等式
- 线性不等式：一元一次不等式、不等式组。
- 非线性不等式：二次不等式、分式不等式。
- 不等式性质：基本性质、均值不等式。
1.2.4 函数
- 定义：变量之间的关系、定义域、值域。
- 常见函数：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数。
- 性质：单调性、奇偶性、周期性。
- 图像：函数图像的绘制与分析。

1.3 几何

1.3.1 平面几何
- 基本图形：点、线、面、角。
- 三角形：分类、性质、相似、全等、面积公式。
- 四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形。
- 圆：圆心、半径、直径、弧、弦、切线、圆周角、圆心角。
1.3.2 立体几何
- 基本体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球。
- 体积：体积公式。
- 表面积：表面积公式。
- 空间关系：平行、垂直、相交。
1.3.3 解析几何
- 坐标系：直角坐标系、极坐标系。
- 直线：方程、斜率、截距、位置关系。
- 圆：方程、位置关系。
- 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线、定义、性质、方程。

二、数学分析

2.1 极限与连续

2.1.1 极限
- 数列极限：定义、性质、存在准则。
- 函数极限：定义、性质、单侧极限。
- 无穷小：定义、阶。
- 重要极限：lim(x->0) sin(x)/x = 1, lim(x->∞) (1 + 1/x)^x = e。
2.1.2 连续
- 函数连续的定义：点连续、区间连续。
- 间断点：类型。
- 连续函数的性质：有界性、最值性、介值性。

2.2 微分学

2.2.1 导数与微分
- 导数：定义、几何意义、物理意义。
- 导数公式：基本函数导数、求导法则。
- 微分：定义、几何意义。
2.2.2 导数的应用
- 单调性：导数与单调性的关系。
- 极值：极值点、最值点。
- 凹凸性：二阶导数与凹凸性的关系。
- 洛必达法则：计算未定式极限。

2.3 积分学

2.3.1 不定积分
- 原函数：定义。
- 不定积分：定义、性质。
- 积分方法：直接积分法、换元积分法、分部积分法。
2.3.2 定积分
- 定义：黎曼和。
- 性质：线性性、积分区间可加性。
- 微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式。
2.3.3 定积分的应用
- 面积：计算平面图形的面积。
- 体积：计算旋转体的体积。
- 弧长：计算曲线的弧长。

2.4 无穷级数

2.4.1 数项级数
- 收敛与发散：定义。
- 收敛判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法。
- 绝对收敛与条件收敛：定义。
2.4.2 函数项级数
- 幂级数：收敛半径、收敛区间。
- 泰勒级数：函数展开为泰勒级数。
- 傅里叶级数：周期函数展开为傅里叶级数。

三、概率统计

3.1 概率论

3.1.1 随机事件与概率
- 样本空间：定义。
- 随机事件：定义、运算。
- 概率：定义、性质、条件概率。
3.1.2 随机变量
- 离散型随机变量：概率分布、期望、方差。
- 连续型随机变量：概率密度函数、期望、方差。
- 常见分布：二项分布、泊松分布、正态分布。
3.1.3 大数定律与中心极限定理
- 大数定律：切比雪夫不等式、辛钦大数定律、伯努利大数定律。
- 中心极限定理：定义。

3.2 数理统计

3.2.1 抽样理论
- 总体与样本：定义。
- 简单随机抽样：定义。
- 统计量：样本均值、样本方差。
3.2.2 参数估计
- 点估计：矩估计、极大似然估计。
- 区间估计：置信区间。
3.2.3 假设检验
- 假设：原假设、备择假设。
- 显著性水平：定义。
- 检验统计量：t检验、卡方检验。

四、离散数学

4.1 集合论

4.1.1 集合
- 定义：集合的表示、集合的运算（并、交、补、差）。
- 关系：子集、真子集、幂集。
4.1.2 关系
- 定义：关系的表示、关系的运算（复合、逆）。
- 性质：自反性、对称性、传递性。
- 等价关系：定义。
4.1.3 函数
- 定义：函数的表示、函数的运算（复合、逆）。
- 类型：单射、满射、双射。

4.2 图论

4.2.1 图
- 定义：顶点、边、邻接、度。
- 类型：有向图、无向图、简单图、完全图。
4.2.2 图的遍历
- 深度优先搜索（DFS）。
- 广度优先搜索（BFS）。
4.2.3 树
- 定义：树的性质。
- 二叉树：完全二叉树、满二叉树。
- 生成树：最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。

4.3 数理逻辑

4.3.1 命题逻辑
- 命题：定义。
- 联结词：否定、合取、析取、蕴含、等价。
- 真值表：构造真值表。
- 等价公式：逻辑等价的判断。
4.3.2 谓词逻辑
- 谓词：定义。
- 量词：全称量词、存在量词。
- 谓词公式：定义。

五、数值分析

5.1 插值
- 拉格朗日插值。
- 牛顿插值。
- 样条插值。
5.2 数值积分
- 梯形公式。
- 辛普森公式。
5.3 线性方程组的数值解法
- 高斯消元法。
- 迭代法 (雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代)。
5.4 非线性方程的数值解法
- 二分法。
- 牛顿迭代法。

上一个主题：西游记思维导图下一个主题：产品经理的思维导图