《六上分数除法思维导图》

一、分数除法的意义

1. 定义

• 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  • 与整数除法的意义相同，是乘法的逆运算。

2. 与整数除法的联系

• 都是已知积和一个因数求另一个因数。
  • 本质都是分配的过程。

3. 应用场景

• 已知总数和每份数，求份数。
  • 已知总数和份数，求每份数。
  • 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

二、分数除法的计算法则

1. 除以整数

• 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。
  • 即：a/b ÷ c = a/b × (1/c) (c ≠ 0)
  • 注意：当分子能被整数整除时，可以直接用分子除以整数。

2. 除以分数

• 分数除以分数，等于分数乘除数的倒数。
  • 即：a/b ÷ c/d = a/b × d/c (c ≠ 0)

3. 总结

• 分数除法统一转化为乘法进行计算。
  • 关键词：除号变乘号，除数的分子分母颠倒位置。

4. 计算步骤

• 1. 确定运算顺序：先算括号里的，再算乘除。
     • 2. 将除法转化为乘法。
     • 3. 约分：能约分的先约分，简化计算。
     • 4. 计算：分子乘分子，分母乘分母。
     • 5. 化简：结果化为最简分数。

三、倒数的认识

1. 定义

• 乘积是1的两个数互为倒数。
  • 倒数是对两个数的关系而言，不能单独说一个数是倒数。

2. 求倒数的方法

• 求整数的倒数：将整数看作分母为1的分数，然后分子分母颠倒位置。
  • 求分数的倒数：分子分母颠倒位置。
  • 求小数的倒数：先将小数化为分数，再求倒数。
  • 求带分数的倒数：先将带分数化为假分数，再求倒数。

3. 特殊数的倒数

• 1的倒数是1。
  • 0没有倒数。（因为0不能做除数）
  • 真分数的倒数大于1。
  • 假分数的倒数小于或等于1。

4. 倒数的性质

• 一个数（0除外）和它的倒数的乘积是1。

四、分数除法的应用

1. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数

• 数量关系式：这个数的几分之几 = 已知量
  • 解法一：方程法
    • 设未知数为x
    • 列方程：(几分之几)x = 已知量
    • 解方程
  • 解法二：算术法
    • 已知量 ÷ 几分之几 = 这个数
    • 即：已知量 × (几分之几的倒数) = 这个数

2. 稍复杂的分数除法应用题

• 分析题目中的数量关系。
  • 找准单位“1”。
  • 确定已知量和未知量。
  • 根据数量关系列方程或算式。
  • 检验结果的合理性。

3. 工程问题

• 将工作总量看作单位“1”。
  • 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间。
  • 合作完成的时间 = 工作总量 ÷ 合作效率。
  • 单独完成的时间 = 工作总量 ÷ 单独的效率。

4. 浓度问题

• 浓度 = 溶质的质量 ÷ 溶液的质量。
  • 溶液的质量 = 溶质的质量 + 溶剂的质量。
  • 溶质的质量 = 溶液的质量 × 浓度。

5. 比例问题

• 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
  • 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
  • 化简比：将比化成最简单的整数比。
  • 按比例分配：将一个数量按照一定的比例进行分配。

五、分数除法的混合运算

1. 运算顺序

• 先算乘除，后算加减。
  • 有括号的先算括号里面的，先算小括号里的，再算中括号里的。
  • 同一级运算，从左往右依次计算。

2. 简便运算

• 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
  • 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法交换律：a × b = b × a
  • 提取公因数。

六、易错点

1. 概念混淆

• 对倒数概念理解不清，认为倒数是一个数，而不是两个数之间的关系。
  • 认为0有倒数。
  • 误用整数除法法则计算分数除法。

2. 计算错误

• 忘记将除法转化为乘法。
  • 忘记颠倒除数的分子分母。
  • 计算过程中出现约分错误。
  • 运算顺序错误。
  • 结果未化简。

3. 应用题审题不清

• 未正确理解题意，找错单位“1”。
  • 未找准数量关系。
  • 列式错误。

七、学习方法

1. 理解概念

• 透彻理解分数除法的意义、计算法则和倒数的概念。

2. 熟练计算

• 多加练习，熟练掌握分数除法的计算技巧。
  • 注重约分，简化计算。

3. 分析数量关系

• 培养分析问题、解决问题的能力。
  • 画线段图，帮助理解题意。

4. 归纳总结

• 及时归纳总结学习内容，形成知识体系。
  • 整理错题，避免重复犯错。

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