小数乘除法的思维导图
《小数乘除法的思维导图》
一、小数乘法
1. 意义
- 1.1 整数乘法的推广:
- 整数乘法是求几个相同加数的和的简便运算。
- 小数乘法也是求几个相同加数的和的简便运算（例如：1.5 × 3 表示 1.5 + 1.5 + 1.5）。
- 1.2 一个数的几倍是多少:
- 求一个数 (可以是整数或小数) 的几倍是多少。
- 例如：1.2 × 2.5 表示求 1.2 的 2.5 倍是多少。
2. 计算方法
- 2.1 转化:
- 2.2 步骤:
- ① 按照整数乘法算出积。
- ② 确定积的小数点位置：看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 2.3 注意事项:
- 积的小数位数不够时，在前面用 0 补足。
- 积的末尾有 0 时，要先点上小数点，再根据需要去掉末尾的 0，进行化简。
- 计算过程中，要尽量先估算，判断结果的合理性。
3. 积的变化规律
- 3.1 一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）到原来的 n 倍，积也扩大（或缩小）到原来的 n 倍。
- 3.2 两个因数都扩大（或缩小）到原来的 n 倍，积扩大（或缩小）到原来的 n² 倍。
- 3.3 两个因数的扩大或缩小倍数不同时，需要具体分析，确定积的变化情况。
4. 近似数
- 4.1 四舍五入法:
- 根据精确度要求，取近似数。
- 要保留到哪一位，就看下一位上的数字，进行四舍五入。
- 4.2 去尾法:
- 无论下一位是什么数字，都直接舍去。通常用于实际问题，如分装物品。
- 4.3 进一法:
- 无论下一位是什么数字，都要进一位。通常用于实际问题，如包装物品。
- 4.4 注意:
5. 乘法运算定律的推广
- 5.1 交换律: a × b = b × a
- 5.2 结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
- 5.3 分配律: (a + b) × c = a × c + b × c
- 5.4 应用:
二、小数除法
1. 意义
- 1.1 整数除法的推广:
- 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
- 1.2 分为两种情况：
- ① 已知一个数的几倍是多少，求这个数。
- ② 已知两个数的积，求一个数是另一个数的几倍。
2. 计算方法
- 2.1 除数是整数的小数除法:
- 按照整数除法的方法去除。
- 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 0 继续除。
- 2.2 除数是小数的小数除法:
- ① 转化：将除数转化为整数。
- ② 步骤：
- 移动除数的小数点，使它变成整数。
- 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位 (位数不够的，在被除数的末尾用 0 补足)。
- 按照除数是整数的小数除法进行计算。
- 2.3 特殊情况:
- 被除数的小数位数比除数少时，要在被除数的末尾添 0 补足。
- 商中间或末尾有 0 时，要正确处理 0 的占位问题。
3. 商的变化规律
- 3.1 被除数不变，除数扩大（或缩小）到原来的 n 倍，商缩小（或扩大）到原来的 1/n。
- 3.2 除数不变，被除数扩大（或缩小）到原来的 n 倍，商也扩大（或缩小）到原来的 n 倍。
- 3.3 被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
4. 循环小数
- 4.1 定义:
- 一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 4.2 循环节:
- 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。
- 4.3 简写:
- 写循环小数时，可以只写第一个循环节，然后在循环节的首位和末位各点一个圆点。
- 4.4 有限小数 vs 无限小数:
- 小数部分位数有限的小数叫做有限小数。
- 小数部分位数无限的小数叫做无限小数。
- 循环小数是无限小数。
- 4.5 循环小数的分类:
- 纯循环小数：循环节从小数部分的第一位开始的。
- 混循环小数：循环节不是从小数部分的第一位开始的。
5. 用计算器探索规律
- 5.1 运用计算器进行计算，快速找到规律。
- 5.2 能够发现一些数字排列的规律，解决问题。
6. 解决问题
- 6.1 审题: 明确题目中的已知条件和所求问题。
- 6.2 分析: 分析数量关系，确定解题思路。
- 6.3 列式: 根据数量关系列出算式。
- 6.4 计算: 认真计算，得出答案。
- 6.5 检验: 检验答案的正确性，注意单位名称的书写。
- 6.6 实际应用:
- 解决实际生活中的问题，例如：平均数问题、单价问题、总价问题等。
- 注意结合实际情况选择合适的计算方法。
