整数和小数的思维导图

# 《整数和小数的思维导图》

## 一、整数 (Integers)

### 1.1 整数的定义和分类

*   **定义:** 没有小数部分的数，可以是正数、负数或零。
*   **分类:**
    *   **正整数 (Positive Integers):** 大于零的整数 (1, 2, 3, ...)
        *   **自然数 (Natural Numbers):**  非负整数，包括零和正整数 (0, 1, 2, 3, ...)
        *   **质数 (Prime Numbers):** 只有两个正因数（1和自身）的自然数（2, 3, 5, 7, 11, ...）
        *   **合数 (Composite Numbers):** 除了1和自身外，还有其他正因数的自然数（4, 6, 8, 9, 10, ...）
    *   **零 (Zero):** 既不是正数也不是负数。
    *   **负整数 (Negative Integers):** 小于零的整数 (-1, -2, -3, ...)

### 1.2 整数的性质

*   **有序性:** 任何两个整数都可以比较大小。
*   **封闭性:**
    *   加法封闭：两个整数的和仍然是整数。
    *   减法封闭：两个整数的差仍然是整数。
    *   乘法封闭：两个整数的积仍然是整数。
    *   除法不封闭：两个整数的商不一定是整数。
*   **运算律:**
    *   加法交换律: a + b = b + a
    *   加法结合律: (a + b) + c = a + (b + c)
    *   乘法交换律: a × b = b × a
    *   乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
    *   乘法分配律: a × (b + c) = a × b + a × c

### 1.3 整数的运算

*   **加法:** 相同符号相加，绝对值相加，符号不变；不同符号相加，绝对值大的减去绝对值小的，结果的符号与绝对值大的相同。
*   **减法:** 减去一个数等于加上这个数的相反数。
*   **乘法:** 相同符号相乘为正，不同符号相乘为负，绝对值相乘。
*   **除法:** 除以一个数等于乘以这个数的倒数，注意除数不能为零。
*   **乘方:**  a<sup>n</sup> 表示 n 个 a 相乘。
*   **开方:**  求一个数的平方根、立方根等。

### 1.4 整除性

*   **因数/约数 (Factors):** 如果整数a能被整数b整除(余数为0)，则b是a的因数。
*   **倍数 (Multiples):** 如果整数a能被整数b整除，则a是b的倍数。
*   **最大公因数 (Greatest Common Divisor, GCD):** 几个整数共有因数中最大的一个。
*   **最小公倍数 (Least Common Multiple, LCM):** 几个整数共有倍数中最小的一个。
*   **整除的判定:**
    *   能被2整除：个位是0, 2, 4, 6, 8
    *   能被3整除：各位数字之和能被3整除
    *   能被5整除：个位是0或5
    *   能被4整除：末两位能被4整除
    *   能被8整除：末三位能被8整除
    *   能被9整除：各位数字之和能被9整除

## 二、小数 (Decimals)

### 2.1 小数的定义和分类

*   **定义:** 用来表示不是整数的有理数。由整数部分、小数点和小数部分组成。
*   **分类:**
    *   **有限小数 (Finite Decimals):** 小数部分的位数是有限的。
    *   **无限小数 (Infinite Decimals):** 小数部分的位数是无限的。
        *   **无限循环小数 (Repeating Decimals):** 小数部分从某一位开始，一个或几个数字重复出现。
            *   **纯循环小数 (Pure Repeating Decimals):** 循环节从小数部分的第一位开始。
            *   **混循环小数 (Mixed Repeating Decimals):** 循环节不是从小数部分的第一位开始。
        *   **无限不循环小数 (Non-repeating Decimals):** 小数部分是无限的，而且不重复出现任何数字序列 (如圆周率π)。  也称为无理数。

### 2.2 小数的表示

*   **十进制表示:**  个位、十分位、百分位、千分位…等等。
*   **分数表示:**  可以转换为分母是10的幂的分数。
*   **科学计数法:** a × 10<sup>n</sup> (1 ≤ |a| < 10, n 为整数)

### 2.3 小数的性质

*   **小数的基本性质:** 在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
*   **小数的位数:** 小数点后数字的个数。
*   **小数的比较大小:** 先比较整数部分，整数部分大的小数就大；如果整数部分相同，就从小数点后第一位开始比较，依次类推。

### 2.4 小数的运算

*   **加法和减法:** 小数点对齐，按整数加减法进行计算。
*   **乘法:**  先按整数乘法计算，再确定小数点的位置（积的小数位数等于两个乘数的小数位数之和）。
*   **除法:** 将除数转化为整数，将被除数的小数点相应移动相同的位数，然后按整数除法进行计算。
*   **小数与分数的互化:**
    *   **小数化分数:** 有限小数可以直接写成分母为10的幂的分数，再化简。
    *   **分数化小数:** 将分数的分母变成10的幂，或者用分子除以分母。

### 2.5 近似数

*   **精确数:** 通过测量或计算得到的准确数值。
*   **近似数:** 与准确数相近，但不是完全相同的数值。
*   **四舍五入法:** 根据需要保留的位数，观察后一位数字，小于5舍去，大于等于5进1。
*   **去尾法:** 舍去保留位数后面的所有数字。
*   **进一法:** 在保留位数的末尾加上1。
*   **有效数字:** 从左边第一个非零数字开始，到最后一位数字为止的所有数字。

## 三、整数和小数的联系

*   小数是整数的扩展，整数可以看作是小数部分为零的小数。
*   整数和小数都可以进行四则运算。
*   整数和小数都属于有理数。
*   许多实际问题需要同时用到整数和小数来描述。

《整数和小数的思维导图》

一、整数 (Integers)

1.1 整数的定义和分类

定义: 没有小数部分的数，可以是正数、负数或零。
分类:
- 正整数 (Positive Integers): 大于零的整数 (1, 2, 3, ...)
  - 自然数 (Natural Numbers): 非负整数，包括零和正整数 (0, 1, 2, 3, ...)
  - 质数 (Prime Numbers): 只有两个正因数（1和自身）的自然数（2, 3, 5, 7, 11, ...）
  - 合数 (Composite Numbers): 除了1和自身外，还有其他正因数的自然数（4, 6, 8, 9, 10, ...）
- 零 (Zero): 既不是正数也不是负数。
- 负整数 (Negative Integers): 小于零的整数 (-1, -2, -3, ...)

1.2 整数的性质

有序性: 任何两个整数都可以比较大小。
封闭性:
- 加法封闭：两个整数的和仍然是整数。
- 减法封闭：两个整数的差仍然是整数。
- 乘法封闭：两个整数的积仍然是整数。
- 除法不封闭：两个整数的商不一定是整数。
运算律:
- 加法交换律: a + b = b + a
- 加法结合律: (a + b) + c = a + (b + c)
- 乘法交换律: a × b = b × a
- 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律: a × (b + c) = a × b + a × c

1.3 整数的运算

加法: 相同符号相加，绝对值相加，符号不变；不同符号相加，绝对值大的减去绝对值小的，结果的符号与绝对值大的相同。
减法: 减去一个数等于加上这个数的相反数。
乘法: 相同符号相乘为正，不同符号相乘为负，绝对值相乘。
除法: 除以一个数等于乘以这个数的倒数，注意除数不能为零。
乘方: aⁿ 表示 n 个 a 相乘。
开方: 求一个数的平方根、立方根等。

1.4 整除性

因数/约数 (Factors): 如果整数a能被整数b整除(余数为0)，则b是a的因数。
倍数 (Multiples): 如果整数a能被整数b整除，则a是b的倍数。
最大公因数 (Greatest Common Divisor, GCD): 几个整数共有因数中最大的一个。
最小公倍数 (Least Common Multiple, LCM): 几个整数共有倍数中最小的一个。
整除的判定:
- 能被2整除：个位是0, 2, 4, 6, 8
- 能被3整除：各位数字之和能被3整除
- 能被5整除：个位是0或5
- 能被4整除：末两位能被4整除
- 能被8整除：末三位能被8整除
- 能被9整除：各位数字之和能被9整除

二、小数 (Decimals)

2.1 小数的定义和分类

定义: 用来表示不是整数的有理数。由整数部分、小数点和小数部分组成。
分类:
- 有限小数 (Finite Decimals): 小数部分的位数是有限的。
- 无限小数 (Infinite Decimals): 小数部分的位数是无限的。
  - 无限循环小数 (Repeating Decimals): 小数部分从某一位开始，一个或几个数字重复出现。
    - 纯循环小数 (Pure Repeating Decimals): 循环节从小数部分的第一位开始。
    - 混循环小数 (Mixed Repeating Decimals): 循环节不是从小数部分的第一位开始。
  - 无限不循环小数 (Non-repeating Decimals): 小数部分是无限的，而且不重复出现任何数字序列 (如圆周率π)。也称为无理数。

2.2 小数的表示

十进制表示: 个位、十分位、百分位、千分位…等等。
分数表示: 可以转换为分母是10的幂的分数。
科学计数法: a × 10ⁿ (1 ≤ |a| < 10, n 为整数)

2.3 小数的性质

小数的基本性质: 在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
小数的位数: 小数点后数字的个数。
小数的比较大小: 先比较整数部分，整数部分大的小数就大；如果整数部分相同，就从小数点后第一位开始比较，依次类推。

2.4 小数的运算

加法和减法: 小数点对齐，按整数加减法进行计算。
乘法: 先按整数乘法计算，再确定小数点的位置（积的小数位数等于两个乘数的小数位数之和）。
除法: 将除数转化为整数，将被除数的小数点相应移动相同的位数，然后按整数除法进行计算。
小数与分数的互化:
- 小数化分数: 有限小数可以直接写成分母为10的幂的分数，再化简。
- 分数化小数: 将分数的分母变成10的幂，或者用分子除以分母。

2.5 近似数

精确数: 通过测量或计算得到的准确数值。
近似数: 与准确数相近，但不是完全相同的数值。
四舍五入法: 根据需要保留的位数，观察后一位数字，小于5舍去，大于等于5进1。
去尾法: 舍去保留位数后面的所有数字。
进一法: 在保留位数的末尾加上1。
有效数字: 从左边第一个非零数字开始，到最后一位数字为止的所有数字。

三、整数和小数的联系

小数是整数的扩展，整数可以看作是小数部分为零的小数。
整数和小数都可以进行四则运算。
整数和小数都属于有理数。
许多实际问题需要同时用到整数和小数来描述。

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