《六上数的整除思维导图》
一、整除的意义与性质
1. 整除的定义
- 概念： 整数a除以整数b（b≠0），商为整数且没有余数，就说a能被b整除，或b能整除a。记作 b|a。
- 关键词： 整数、除尽、余数为0。
- 例子： 12 ÷ 3 = 4 ，所以 3|12 (3整除12)。
- 反例： 10 ÷ 3 = 3...1 ，所以 3不能整除10。
- 注意： 0可以被任何非0整数整除，0不能整除任何数。
2. 整除的性质
- 传递性： 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除，即若b|a，c|b，则c|a。
- 例子： 2|6，6|12，则2|12。
- 可加减性： 如果c能整除a，c能整除b，那么c能整除a+b和a-b。若c|a，c|b，则c|(a+b)且c|(a-b)。
- 推广： 如果c能整除a1, a2, ..., an，那么c能整除它们的任意线性组合。 若c|a1, c|a2, ..., c|an, 则 c|(k1a1 + k2a2 + ... + knan)，其中k1, k2, ..., kn是整数。
- 例子： 5|10，5|15，则5|(10+15)，5|(15-10)。
- 可乘性： 如果c能整除a，那么c能整除a的任何整数倍。 若c|a，则c|(ka)，其中k是整数。
- 例子： 3|6，则3| (26)，3|( -16)。
3. 因数与倍数
- 定义： 如果b|a，那么b是a的因数（或约数），a是b的倍数。
- 互为因数和倍数： 因数和倍数是相互依存的关系，不能单独存在。
- 例子： 3|12，那么3是12的因数，12是3的倍数。
- 注意： 任何整数都是1的倍数，1是任何整数的因数。
二、能被特殊数整除的数的特征
1. 能被2整除的数的特征
- 特征： 个位数字是0、2、4、6、8的数，即偶数。
2. 能被3整除的数的特征
- 特征： 各个数位上的数字之和能被3整除。
- 例子： 123： 1 + 2 + 3 = 6，6能被3整除，所以123能被3整除。
3. 能被5整除的数的特征
- 特征： 个位数字是0或5的数。
4. 能被4整除的数的特征
- 特征： 末两位数能被4整除。
- 例子： 1236： 36能被4整除，所以1236能被4整除。
5. 能被8整除的数的特征
- 特征： 末三位数能被8整除。
6. 能被9整除的数的特征
- 特征： 各个数位上的数字之和能被9整除。
- 例子： 999： 9 + 9 + 9 = 27，27能被9整除，所以999能被9整除。
7. 能被11整除的数的特征
- 特征： 奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差，能被11整除（或等于0）。
- 例子： 1232： (1+3) - (2+2) = 0，所以1232能被11整除。
- 例子： 918082： (9+8+8) - (1+0+2) = 25 - 3 = 22，22能被11整除，所以918082能被11整除。
三、质数、合数、分解质因数
1. 质数
- 定义： 只有1和它本身两个因数的数。
- 例子： 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
- 最小的质数： 2
2. 合数
- 定义： 除了1和它本身以外，还有其他因数的数。
- 例子： 4, 6, 8, 9, 10, 12, ...
- 最小的合数： 4
- 注意： 1既不是质数，也不是合数。
3. 分解质因数
- 定义： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。
- 方法： 短除法。
- 例子： 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
四、最大公因数和最小公倍数
1. 公因数和公倍数
- 公因数： 几个数公有的因数。
- 公倍数： 几个数公有的倍数。
2. 最大公因数（Greatest Common Divisor, GCD）
- 定义： 几个数公有的因数中，最大的一个。
- 求法：
- 短除法： 除到所有数都没有公因数为止，将除数相乘。
- 质因数分解法： 将每个数分解质因数，取所有数共有的质因数的最小次幂的乘积。
- 辗转相除法（欧几里得算法）： gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，直到a mod b = 0，则b为最大公因数。
- 互质数： 最大公因数为1的两个数。
3. 最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）
- 定义： 几个数公有的倍数中，最小的一个。
- 求法：
- 短除法： 除到所有数都没有公因数为止，将除数和最后的商相乘。
- 质因数分解法： 将每个数分解质因数，取所有质因数的最大次幂的乘积。
- 公式： LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b)
五、整除的应用
1. 判断能否整除
- 利用能被特殊数整除的数的特征快速判断。
2. 求因数和倍数
- 利用整除的概念和分解质因数的方法，找到所有因数和倍数。
3. 解决实际问题
- 分东西问题： 需要把一些东西平均分成几份，求每份的数量（涉及因数）。
- 周期性问题： 多个事件以不同的周期循环发生，求它们下次同时发生的时间（涉及公倍数）。
- 铺地砖问题： 用同样大小的地砖铺满房间，求地砖的最大边长（涉及最大公因数）。
4. 约分和通分
- 约分： 将一个分数化简为最简分数，需要找到分子和分母的最大公因数。
- 通分： 将几个分数化成同分母分数，需要找到分母的最小公倍数。