《第12章 数的整式的乘除思维导图》

一、幂的运算

• 1.1 同底数幂的乘法：

  • 法则： a^m · aⁿ = a^m+n (m, n为正整数)
  • 核心： 底数不变，指数相加
  • 易错点： 底数必须相同，指数才能相加；不能把乘法运算与加法运算混淆。
  • 例题： x³ · x⁵ = x⁸; (-2)² · (-2)³ = (-2)⁵ = -32; (a+b)² · (a+b)³ = (a+b)⁵
  • 推广： a^m · aⁿ · a^p = a^m+n+p

• 1.2 幂的乘方：

  • 法则： (a^m)ⁿ = a^mn (m, n为正整数)
  • 核心： 底数不变，指数相乘
  • 易错点： 区分(a^m)ⁿ与a^m · aⁿ
  • 例题： (x²)³ = x⁶; [(-3)²]⁴ = (-3)⁸ = 3⁸; -(a³)² = -a⁶
  • 注意： 负号的位置会影响结果

• 1.3 积的乘方：

  • 法则： (ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n为正整数)
  • 核心： 把积的每一个因式分别乘方
  • 易错点： 不要遗漏任何一个因式，包括系数；注意符号。
  • 例题： (2x)³ = 2³x³ = 8x³; (-3xy)² = (-3)²x²y² = 9x²y²; (a²b³)⁴ = a⁸b¹²
  • 逆用： aⁿbⁿ = (ab)ⁿ，可以简化计算

• 1.4 同底数幂的除法：

  • 法则： a^m ÷ aⁿ = a^m-n (a≠0, m, n为正整数, m>n)
  • 核心： 底数不变，指数相减
  • 易错点： a≠0的条件必须满足；被除式的指数必须大于除式的指数。
  • 例题： x⁵ ÷ x² = x³; (-2)⁷ ÷ (-2)⁴ = (-2)³ = -8; a^m+n ÷ a^m = aⁿ
  • 特殊情况： a^m ÷ a^m = 1 (a≠0)

• 1.5 零指数幂与负整数指数幂：

  • 零指数幂： a⁰ = 1 (a≠0)
  • 负整数指数幂： a^-p = 1/a^p (a≠0, p为正整数)
  • 核心： 任何非零数的零次幂都等于1；任何非零数的负整数指数幂都等于这个数的正整数指数幂的倒数。
  • 易错点： a≠0的条件必须满足；注意负指数幂的意义。
  • 例题： 5⁰ = 1; (-3)⁰ = 1; (x+y)⁰ = 1 (x+y≠0); 2^-3 = 1/2³ = 1/8; (-4)^-2 = 1/(-4)² = 1/16

二、整式的乘法

• 2.1 单项式乘以单项式：

  • 法则： 把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
  • 核心： 系数与系数相乘；相同字母的幂相乘；单独的字母照抄。
  • 易错点： 注意系数的符号；不要遗漏任何一个因式。
  • 例题： (2x²y) · (3xy³) = 6x³y⁴; (-5a³b²) · (2ab⁴) = -10a⁴b⁶

• 2.2 单项式乘以多项式：

  • 法则： 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
  • 核心： m(a+b+c) = ma + mb + mc
  • 易错点： 不要漏乘多项式的任何一项；注意符号。
  • 例题： 2x(3x² - 4x + 1) = 6x³ - 8x² + 2x; -3ab(a² - 2b + 5) = -3a³b + 6ab² - 15ab

• 2.3 多项式乘以多项式：

  • 法则： 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
  • 核心： (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
  • 易错点： 不要漏乘多项式的任何一项；注意符号；计算完毕后，一定要合并同类项。
  • 例题： (x+2)(x-3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6; (2a-1)(a+4) = 2a² + 8a - a - 4 = 2a² + 7a - 4

三、整式的除法

• 3.1 单项式除以单项式：

  • 法则： 把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
  • 核心： 系数相除；同底数幂相除；单独的字母照抄。
  • 易错点： 注意系数的符号；不要遗漏任何一个因式；分母不能为零。
  • 例题： (6x³y²) ÷ (2xy) = 3x²y; (-15a⁴b³) ÷ (3a²b) = -5a²b²

• 3.2 多项式除以单项式：

  • 法则： 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
  • 核心： (a+b+c) ÷ m = a÷m + b÷m + c÷m
  • 易错点： 不要漏除多项式的任何一项；注意符号；分母不能为零。
  • 例题： (8x³ - 4x² + 2x) ÷ (2x) = 4x² - 2x + 1; (12a²b - 6ab² + 3ab) ÷ (3ab) = 4a - 2b + 1

四、乘法公式

• 4.1 平方差公式：

  • 公式： (a+b)(a-b) = a² - b²
  • 核心： 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。
  • 易错点： 必须是两数和与这两数差的积的形式才能运用平方差公式；注意符号。
  • 例题： (x+3)(x-3) = x² - 9; (2a+b)(2a-b) = 4a² - b²; (a+b)(-b+a) = a² - b²
  • 变式： (a-b)(a+b); (-a+b)(a+b); (-a-b)(-a+b); (a+b)(b-a)需要变形后才能使用

• 4.2 完全平方公式：

  • 公式： (a+b)² = a² + 2ab + b²; (a-b)² = a² - 2ab + b²
  • 核心： 两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的二倍。
  • 易错点： 注意符号；中间项是2ab，而不是ab；不要与a² + b²混淆。
  • 例题： (x+2)² = x² + 4x + 4; (3a-1)² = 9a² - 6a + 1; (-x-y)² = x² + 2xy + y²
  • 变式： (a+b)² - (a-b)² = 4ab; (a+b)² + (a-b)² = 2(a² + b²)

五、综合应用

• 5.1 灵活运用幂的运算、整式的乘除和乘法公式解决问题。
• 5.2 解决与面积、体积等几何问题相关的计算。
• 5.3 探索规律，进行简单的推理和证明。
• 5.4 运用整体思想进行计算。
• 5.5 注意计算的准确性，避免符号错误。