小数乘除法思维导图
# 《小数乘除法思维导图》
## 一、小数乘法
### 1. 意义
* **整数乘法意义的扩展:** 求几个相同加数的和的简便运算。
* **小数乘法的意义:**
* 一个数乘小数的意义：求这个数的十分之几、百分之几…是多少。例如：1.5 × 0.8 表示求 1.5 的十分之八是多少。
* 求比一个数多（少）百分之几的数。
* **解决问题:**
* 总价=单价×数量
* 路程=速度×时间
* 工作总量=工作效率×工作时间
### 2. 计算法则
* **步骤：**
1. **转化:** 将小数乘法转化为整数乘法。
2. **计算:** 按照整数乘法的法则计算。
3. **确定小数点:** 确定积的小数位数（看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点）。
* **重点难点：**
* **位数不够:** 积的小数位数不够时，要在前面用 0 补足，再点上小数点。
* **末尾有 0:** 积末尾有 0 的，要先点上小数点，再根据小数的性质把小数末尾的“0”去掉。
* **估算:** 可以进行估算，初步判断结果的合理性。
### 3. 特殊情况
* **因数小于 1:** 当一个因数小于 1 时，积小于另一个因数。
* **因数大于 1:** 当一个因数大于 1 时，积大于另一个因数。
* **1.01x > x，0.99x < x (x>0)** 理解乘数大于1、小于1时积的变化。
### 4. 简便计算
* **乘法交换律:** a × b = b × a
* **乘法结合律:** (a × b) × c = a × (b × c)
* **乘法分配律:** (a + b) × c = a × c + b × c
* **变形的应用：**
* 提取公因数： a × c + b × c = (a + b) × c
* 逆用分配律： a × c - b × c = (a - b) × c
* 拆分因数： 将一个数拆分成两个数的和或差，再应用分配律。 例如： 10.1 × 8.5 = (10 + 0.1) × 8.5； 9.9 × 8.5 = (10 - 0.1) × 8.5
* **注意：** 简便计算的核心是改变运算顺序，使其更容易计算。 要仔细观察数据特征，选择合适的运算定律。
### 5. 实际应用
* **求近似数:** 根据需要，用“四舍五入”法保留一定的小数位数。
* **解决实际问题:**
* 根据题意分析数量关系。
* 列出算式，进行计算。
* 检查计算结果是否合理。
## 二、小数除法
### 1. 意义
* **整数除法意义的扩展:** 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
* **小数除法的意义:**
* 与整数除法的意义相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
* 一个数除以小数的意义：求一个数里包含多少个另一个数（小数）。
### 2. 计算法则
* **除数是整数的小数除法:**
1. **按照整数除法的法则去除。**
2. **商的小数点要和被除数的小数点对齐。**
3. **如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 0 继续除。**
* **除数是小数的小数除法:**
1. **转化:** 先移动除数的小数点，使它变成整数。
2. **移动被除数的小数点:** 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用 0 补足）。
3. **按照除数是整数的除法进行计算。**
* **重点难点：**
* **小数点移动：** 确保除数变为整数，并正确移动被除数的小数点。
* **补 0：** 位数不够时，在被除数末尾补 0。
* **商中间有 0：** 注意商中间有 0 的情况。
* **估算：** 估算可以用于初步判断结果的合理性。
### 3. 商的变化规律
* **被除数不变，除数扩大或缩小多少倍，商反而缩小或扩大相同的倍数。**
* **除数不变，被除数扩大或缩小多少倍，商也扩大或缩小相同的倍数。**
* **被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），商不变。**
### 4. 特殊情况
* **除数小于 1:** 商大于被除数。
* **除数大于 1:** 商小于被除数。
* **a ÷ 1.01 < a，a ÷ 0.99 > a (a>0)** 理解除数大于1、小于1时商的变化。
### 5. 商的近似数
* **四舍五入法:** 根据要求保留的小数位数，进行四舍五入。
* **进一法:** 即使末位小于5，也要向前进一位，主要用于解决实际问题，例如：装东西需要几个箱子。
* **去尾法:** 即使末位大于等于5，也舍去，主要用于解决实际问题，例如：买东西带的钱够买几个。
### 6. 循环小数
* **定义:** 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
* **循环节:** 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。
* **简写：** 循环小数可以用简便记法表示，即只写一个循环节，并在循环节的第一个数字和最后一个数字上面点上圆点。
* **无限小数:** 循环小数是无限小数。
* **有限小数:** 小数部分的位数是有限的小数（如3.2，12.987等）叫做有限小数。
* **判断：**任何一个分数都可以化成有限小数或循环小数。 (错误，例如无限不循环小数)
### 7. 解决问题
* **平均数问题：** 总数量 ÷ 总份数 = 平均数
* **单价、数量、总价的关系：**
* 单价 = 总价 ÷ 数量
* 数量 = 总价 ÷ 单价
* **归一问题:** 先求出一份是多少。
* **归总问题:** 先求出总数。
* **根据题意分析数量关系。**
* **列出算式，进行计算。**
* **检查计算结果是否合理。**
### 8. 混合运算
* **运算顺序:** 先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。
* **简便计算:** 同样适用乘法分配律、交换律和结合律。
## 三、总结
* 小数乘除法的核心是掌握计算法则，并能够灵活运用简便计算方法。
* 在解决实际问题时，要认真分析题意，明确数量关系，选择合适的计算方法。
* 注意商的近似数、循环小数等特殊情况的处理。
* 加强练习，提高计算能力和解决问题的能力。
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