《小数乘除法思维导图》

一、小数乘法

1. 意义

• 整数乘法意义的扩展: 求几个相同加数的和的简便运算。
• 小数乘法的意义:
  • 一个数乘小数的意义：求这个数的十分之几、百分之几…是多少。例如：1.5 × 0.8 表示求 1.5 的十分之八是多少。
  • 求比一个数多（少）百分之几的数。
• 解决问题:
  • 总价=单价×数量
  • 路程=速度×时间
  • 工作总量=工作效率×工作时间

2. 计算法则

• 步骤：
  1. 转化: 将小数乘法转化为整数乘法。
  2. 计算: 按照整数乘法的法则计算。
  3. 确定小数点: 确定积的小数位数（看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点）。
• 重点难点：
  • 位数不够: 积的小数位数不够时，要在前面用 0 补足，再点上小数点。
  • 末尾有 0: 积末尾有 0 的，要先点上小数点，再根据小数的性质把小数末尾的“0”去掉。
  • 估算: 可以进行估算，初步判断结果的合理性。

3. 特殊情况

• 因数小于 1: 当一个因数小于 1 时，积小于另一个因数。
• 因数大于 1: 当一个因数大于 1 时，积大于另一个因数。
• 1.01x > x，0.99x < x (x>0) 理解乘数大于1、小于1时积的变化。

4. 简便计算

• 乘法交换律: a × b = b × a
• 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
• 乘法分配律: (a + b) × c = a × c + b × c
• 变形的应用：
  • 提取公因数： a × c + b × c = (a + b) × c
  • 逆用分配律： a × c - b × c = (a - b) × c
  • 拆分因数： 将一个数拆分成两个数的和或差，再应用分配律。 例如： 10.1 × 8.5 = (10 + 0.1) × 8.5； 9.9 × 8.5 = (10 - 0.1) × 8.5
• 注意： 简便计算的核心是改变运算顺序，使其更容易计算。 要仔细观察数据特征，选择合适的运算定律。

5. 实际应用

• 求近似数: 根据需要，用“四舍五入”法保留一定的小数位数。
• 解决实际问题:
  • 根据题意分析数量关系。
  • 列出算式，进行计算。
  • 检查计算结果是否合理。

二、小数除法

1. 意义

• 整数除法意义的扩展: 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 小数除法的意义:
  • 与整数除法的意义相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  • 一个数除以小数的意义：求一个数里包含多少个另一个数（小数）。

2. 计算法则

• 除数是整数的小数除法:
  1. 按照整数除法的法则去除。
  2. 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
  3. 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 0 继续除。
• 除数是小数的小数除法:
  1. 转化: 先移动除数的小数点，使它变成整数。
  2. 移动被除数的小数点: 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用 0 补足）。
  3. 按照除数是整数的除法进行计算。
• 重点难点：
  • 小数点移动： 确保除数变为整数，并正确移动被除数的小数点。
  • 补 0： 位数不够时，在被除数末尾补 0。
  • 商中间有 0： 注意商中间有 0 的情况。
  • 估算： 估算可以用于初步判断结果的合理性。

3. 商的变化规律

• 被除数不变，除数扩大或缩小多少倍，商反而缩小或扩大相同的倍数。
• 除数不变，被除数扩大或缩小多少倍，商也扩大或缩小相同的倍数。
• 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），商不变。

4. 特殊情况

• 除数小于 1: 商大于被除数。
• 除数大于 1: 商小于被除数。
• a ÷ 1.01 < a，a ÷ 0.99 > a (a>0) 理解除数大于1、小于1时商的变化。

5. 商的近似数

• 四舍五入法: 根据要求保留的小数位数，进行四舍五入。
• 进一法: 即使末位小于5，也要向前进一位，主要用于解决实际问题，例如：装东西需要几个箱子。
• 去尾法: 即使末位大于等于5，也舍去，主要用于解决实际问题，例如：买东西带的钱够买几个。

6. 循环小数

• 定义: 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
• 循环节: 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。
• 简写： 循环小数可以用简便记法表示，即只写一个循环节，并在循环节的第一个数字和最后一个数字上面点上圆点。
• 无限小数: 循环小数是无限小数。
• 有限小数: 小数部分的位数是有限的小数（如3.2，12.987等）叫做有限小数。
• 判断：任何一个分数都可以化成有限小数或循环小数。 (错误，例如无限不循环小数)

7. 解决问题

• 平均数问题： 总数量 ÷ 总份数 = 平均数
• 单价、数量、总价的关系：
  • 单价 = 总价 ÷ 数量
  • 数量 = 总价 ÷ 单价
• 归一问题: 先求出一份是多少。
• 归总问题: 先求出总数。
• 根据题意分析数量关系。
• 列出算式，进行计算。
• 检查计算结果是否合理。

8. 混合运算

• 运算顺序: 先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。
• 简便计算: 同样适用乘法分配律、交换律和结合律。

三、总结

• 小数乘除法的核心是掌握计算法则，并能够灵活运用简便计算方法。
• 在解决实际问题时，要认真分析题意，明确数量关系，选择合适的计算方法。
• 注意商的近似数、循环小数等特殊情况的处理。
• 加强练习，提高计算能力和解决问题的能力。

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